Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем первую производную.
Этап 2.1.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2
Продифференцируем.
Этап 2.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.2.4
Упростим выражение.
Этап 2.1.2.4.1
Добавим и .
Этап 2.1.2.4.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.1.4
Объединим и .
Этап 2.1.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.1.6
Упростим числитель.
Этап 2.1.6.1
Умножим на .
Этап 2.1.6.2
Вычтем из .
Этап 2.1.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.8
Объединим и .
Этап 2.1.9
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.1.10
Упростим.
Этап 2.1.10.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.10.2
Объединим термины.
Этап 2.1.10.2.1
Объединим и .
Этап 2.1.10.2.2
Перенесем в числитель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.1.10.2.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.1.10.2.3.1
Умножим на .
Этап 2.1.10.2.3.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.1.10.2.3.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.1.10.2.3.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 2.1.10.2.3.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.1.10.2.3.4
Вычтем из .
Этап 2.1.10.2.4
Объединим и .
Этап 2.1.10.2.5
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.10.2.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.1.10.2.7
Объединим и .
Этап 2.1.10.2.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.1.10.2.9
Перенесем влево от .
Этап 2.1.10.2.10
Добавим и .
Этап 2.2
Найдем вторую производную.
Этап 2.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2.2
Найдем значение .
Этап 2.2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.2.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.2.2.4
Объединим и .
Этап 2.2.2.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.2.2.6
Упростим числитель.
Этап 2.2.2.6.1
Умножим на .
Этап 2.2.2.6.2
Вычтем из .
Этап 2.2.2.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2.2.8
Объединим и .
Этап 2.2.2.9
Умножим на .
Этап 2.2.2.10
Умножим на .
Этап 2.2.2.11
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.2.3
Найдем значение .
Этап 2.2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.3.2
Перепишем в виде .
Этап 2.2.3.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2.3.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.2.3.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.3.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.2.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.3.5
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.2.3.5.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.2.3.5.2
Умножим .
Этап 2.2.3.5.2.1
Объединим и .
Этап 2.2.3.5.2.2
Умножим на .
Этап 2.2.3.5.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2.3.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.2.3.7
Объединим и .
Этап 2.2.3.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.2.3.9
Упростим числитель.
Этап 2.2.3.9.1
Умножим на .
Этап 2.2.3.9.2
Вычтем из .
Этап 2.2.3.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2.3.11
Объединим и .
Этап 2.2.3.12
Объединим и .
Этап 2.2.3.13
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.2.3.13.1
Перенесем .
Этап 2.2.3.13.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.3.13.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.2.3.13.4
Вычтем из .
Этап 2.2.3.13.5
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2.3.14
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.2.3.15
Умножим на .
Этап 2.2.3.16
Умножим на .
Этап 2.2.3.17
Умножим на .
Этап 2.2.3.18
Умножим на .
Этап 2.2.3.19
Умножим на .
Этап 2.3
Вторая производная по равна .
Этап 3
Этап 3.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 3.2
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Этап 3.2.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 3.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Этап 3.2.3
НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.
1. Перечислим простые множители каждого числа.
2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.
Этап 3.2.4
У есть множители: и .
Этап 3.2.5
Число не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.
Не является простым
Этап 3.2.6
НОК представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 3.2.7
Умножим на .
Этап 3.2.8
НОК представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 3.2.9
НОК представляет собой произведение числовой части и переменной части.
Этап 3.3
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Этап 3.3.1
Умножим каждый член на .
Этап 3.3.2
Упростим левую часть.
Этап 3.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 3.3.2.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.3.2.1.2
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.3
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.3.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.3.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.4
Разделим на .
Этап 3.3.2.1.5
Упростим.
Этап 3.3.2.1.6
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.3.2.1.7
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.7.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.7.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.8
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.8.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.8.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.3
Упростим правую часть.
Этап 3.3.3.1
Умножим .
Этап 3.3.3.1.1
Умножим на .
Этап 3.3.3.1.2
Умножим на .
Этап 3.4
Решим уравнение.
Этап 3.4.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 3.4.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 3.4.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 3.4.2.2
Упростим левую часть.
Этап 3.4.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 3.4.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.4.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 3.4.2.3
Упростим правую часть.
Этап 3.4.2.3.1
Разделим на .
Этап 4
Этап 4.1
Подставим в , чтобы найти значение .
Этап 4.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 4.1.2
Упростим результат.
Этап 4.1.2.1
Вычтем из .
Этап 4.1.2.2
Перенесем влево от .
Этап 4.1.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 4.2
Подставляя в , найдем точку . Эта точка может быть точкой перегиба.
Этап 5
Разобьем на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 6.2.2
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 6.2.2.1
Умножим на .
Этап 6.2.2.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 6.2.2.2.1
Перенесем .
Этап 6.2.2.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6.2.2.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.2.2.2.4
Добавим и .
Этап 6.2.3
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 6.2.3.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.2.3.2
Сократим общий множитель .
Этап 6.2.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.4
Упростим числитель.
Этап 6.2.4.1
Найдем экспоненту.
Этап 6.2.4.2
Умножим на .
Этап 6.2.4.3
Добавим и .
Этап 6.2.5
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6.2.6
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 7.2.2
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 7.2.2.1
Умножим на .
Этап 7.2.2.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 7.2.2.2.1
Перенесем .
Этап 7.2.2.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 7.2.2.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.2.2.2.4
Добавим и .
Этап 7.2.3
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 7.2.3.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.2.3.2
Сократим общий множитель .
Этап 7.2.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.4
Упростим числитель.
Этап 7.2.4.1
Найдем экспоненту.
Этап 7.2.4.2
Умножим на .
Этап 7.2.4.3
Добавим и .
Этап 7.2.5
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 8
Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка .
Этап 9