Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $x^{2} + 25$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.2.2

По правилу суммы производная $- x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.2.6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.2.7

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.4.4

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} + 25)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.3

Развернем $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.1.2

Перенесем $25$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.1.3

Умножим $25$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.2

Добавим $25 x^{2}$ и $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.6.1

Умножим $50$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.6.2

Умножим $- 2$ на $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.11

Развернем $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.4

Умножим $4$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.5

Умножим $25$ на $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.2

Вычтем $100 x^{3}$ из $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.3

Добавим $4 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.2

Добавим $- 2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.3

Вычтем $2500 x$ из $- 1250 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 3750 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.4

Разложим $u^{2} - 50 u - 1875$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 1875$ , а сумма — $- 50$ .

$- 75, 25$

Этап 2.2.5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 25$ и ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.5.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 2.2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 2.2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 2.2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x (x^{2} - 75) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 75 = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.3

Приравняем $x^{2} - 75$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $x^{2} - 75$ к $0$ .

$x^{2} - 75 = 0$

Этап 3.3.3.2

Решим $x^{2} - 75 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Добавим $75$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 75$

Этап 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{75}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Этап 3.3.3.2.3.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Этап 3.3.3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5 \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x^{2} - 75) = 0$ верно.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 25}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 25}$

Этап 4.1.2.1.2

Добавим $0$ и $25$ .

$f (0) = \frac{0}{25}$

Этап 4.1.2.2

Разделим $0$ на $25$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $5 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{{(5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

Этап 4.3.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

Этап 4.3.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Этап 4.3.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Этап 4.3.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Этап 4.3.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $25$ на $3$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $75$ и $25$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{100}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $5$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 (\sqrt{3})}{100}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $100$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

Этап 4.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

Этап 4.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{20}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{20}$

Этап 4.4

Подставляя $5 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ , найдем точку $(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

Этап 4.5

Подставим $- 5 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Применим правило умножения к $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Этап 4.5.2.1.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Этап 4.5.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

Этап 4.5.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

Этап 4.5.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Этап 4.5.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Этап 4.5.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Этап 4.5.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Этап 4.5.2.1.4

Умножим $25$ на $3$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

Этап 4.5.2.1.5

Добавим $75$ и $25$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{100}$

Этап 4.5.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{100}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $100$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 (20)}$

Этап 4.5.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 \cdot 20}$

Этап 4.5.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{20}$

Этап 4.5.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 5 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{20}$

Этап 4.5.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{20}$

Этап 4.6

Подставляя $- 5 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ , найдем точку $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

Этап 4.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20}), (- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8.76025403$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{2 (- 8.76025403) ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $2$ на $- 8.76025403$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 17.52050807 ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 17.52050807$ на ${(- 8.76025403)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 8.76025403$ в степень $2$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $76.7420508$ и $25$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $101.7420508$ в степень $3$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{1053177.23320495}$

Этап 6.2.3

Разделим $- 30.52161524$ на $1053177.23320495$ .

$f'' (- 8.76025403) = - 0.00002898$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00002898$ .

$- 0.00002898$

Этап 6.3

При $- 8.76025403$ вторая производная имеет вид $- 2.89805118 E - 5$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.33012701$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{2 (- 4.33012701) ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $2$ на $- 4.33012701$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{- 8.66025403 ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 8.66025403$ на ${(- 4.33012701)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $- 4.33012701$ в степень $2$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $18.75$ и $25$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{43.75}^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $43.75$ в степень $3$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{83740.234375}$

Этап 7.2.3

Разделим $487.13928962$ на $83740.234375$ .

$f'' (- 4.33012701) = 0.00581726$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $0.00581726$ .

$0.00581726$

Этап 7.3

При $- 4.33012701$ вторая производная имеет вид $0.00581726$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ .

Возрастание в области $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 5 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.33012701$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{2 (4.33012701) ({(4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $2$ на $4.33012701$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{8.66025403 ({4.33012701}^{2} - 75)}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $8.66025403$ на ${4.33012701}^{2} - 75$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $4.33012701$ в степень $2$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $18.75$ и $25$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{43.75}^{3}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $43.75$ в степень $3$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{83740.234375}$

Этап 8.2.3

Разделим $- 487.13928962$ на $83740.234375$ .

$f'' (4.33012701) = - 0.00581726$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00581726$ .

$- 0.00581726$

Этап 8.3

При $4.33012701$ вторая производная имеет вид $- 0.00581726$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, 5 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(0, 5 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(5 \sqrt{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8.76025403$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{2 (8.76025403) ({(8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $2$ на $8.76025403$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{17.52050807 ({8.76025403}^{2} - 75)}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $17.52050807$ на ${8.76025403}^{2} - 75$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $8.76025403$ в степень $2$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

Этап 9.2.2.2

Добавим $76.7420508$ и $25$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $101.7420508$ в степень $3$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{1053177.23320495}$

Этап 9.2.3

Разделим $30.52161524$ на $1053177.23320495$ .

$f'' (8.76025403) = 0.00002898$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $0.00002898$ .

$0.00002898$

Этап 9.3

При $8.76025403$ вторая производная имеет вид $2.89805118 E - 5$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(5 \sqrt{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(5 \sqrt{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ .

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

Этап 11