Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (7)$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (7)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (7)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Этап 1.1.3.2

Добавим $4 x^{3} - 12 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 7$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 7$

Этап 3.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 7$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 7$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 7$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $0$ и $7$ .

$f (0) = 7$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ , найдем точку $(0, 7)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 7)$

Этап 3.3

Подставим $2$ в $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 7$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = 16 - 4 {(2)}^{3} + 7$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 16 - 4 \cdot 8 + 7$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $- 4$ на $8$ .

$f (2) = 16 - 32 + 7$

Этап 3.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вычтем $32$ из $16$ .

$f (2) = - 16 + 7$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $- 16$ и $7$ .

$f (2) = - 9$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- 9$ .

$- 9$

Этап 3.4

Подставляя $2$ в $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ , найдем точку $(2, - 9)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2, - 9)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 7), (2, - 9)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Этап 5.2.1.2

Умножим $12$ на $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 24 \cdot - 0.1$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 24$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 2.4$

Этап 5.2.2

Добавим $0.12$ и $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.52$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $2.52$ .

$2.52$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $2.52$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Этап 6.2.2

Вычтем $24$ из $12$ .

$f'' (1) = - 12$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

Этап 6.3

При $1$ вторая производная имеет вид $- 12$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, 2)$ .

Убывание на $(0, 2)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 24 \cdot 2.1$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2.1$ в степень $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 24 \cdot 2.1$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 24 \cdot 2.1$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 24$ на $2.1$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 50.4$

Этап 7.2.2

Вычтем $50.4$ из $52.92$ .

$f'' (2.1) = 2.52$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $2.52$ .

$2.52$

Этап 7.3

При $2.1$ вторая производная имеет вид $2.52$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 7), (2, - 9)$ .

$(0, 7), (2, - 9)$

Этап 9