Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1
Продифференцируем.
Этап 1.1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2
Найдем значение .
Этап 1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3
Умножим на .
Этап 1.1.3
Найдем значение .
Этап 1.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3.3
Умножим на .
Этап 1.1.4
Найдем значение .
Этап 1.1.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.4.3
Умножим на .
Этап 1.1.5
Продифференцируем, используя правило константы.
Этап 1.1.5.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.5.2
Добавим и .
Этап 1.2
Найдем вторую производную.
Этап 1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.2
Найдем значение .
Этап 1.2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.2.3
Умножим на .
Этап 1.2.3
Найдем значение .
Этап 1.2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3.3
Умножим на .
Этап 1.2.4
Найдем значение .
Этап 1.2.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.4.3
Умножим на .
Этап 1.2.5
Продифференцируем, используя правило константы.
Этап 1.2.5.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.2.5.2
Добавим и .
Этап 1.3
Вторая производная по равна .
Этап 2
Этап 2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.5
Вынесем множитель из .
Этап 2.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.3.2
Упростим левую часть.
Этап 2.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.3.3
Упростим правую часть.
Этап 2.3.3.1
Разделим на .
Этап 2.4
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
Этап 2.5
Подставим значения , и в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно .
Этап 2.6
Упростим.
Этап 2.6.1
Упростим числитель.
Этап 2.6.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.6.1.2
Умножим .
Этап 2.6.1.2.1
Умножим на .
Этап 2.6.1.2.2
Умножим на .
Этап 2.6.1.3
Вычтем из .
Этап 2.6.1.4
Перепишем в виде .
Этап 2.6.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.6.1.4.2
Перепишем в виде .
Этап 2.6.1.5
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 2.6.2
Умножим на .
Этап 2.6.3
Упростим .
Этап 2.7
Упростим выражение, которое нужно решить для части значения .
Этап 2.7.1
Упростим числитель.
Этап 2.7.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.7.1.2
Умножим .
Этап 2.7.1.2.1
Умножим на .
Этап 2.7.1.2.2
Умножим на .
Этап 2.7.1.3
Вычтем из .
Этап 2.7.1.4
Перепишем в виде .
Этап 2.7.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.7.1.4.2
Перепишем в виде .
Этап 2.7.1.5
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 2.7.2
Умножим на .
Этап 2.7.3
Упростим .
Этап 2.7.4
Заменим на .
Этап 2.8
Упростим выражение, которое нужно решить для части значения .
Этап 2.8.1
Упростим числитель.
Этап 2.8.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.8.1.2
Умножим .
Этап 2.8.1.2.1
Умножим на .
Этап 2.8.1.2.2
Умножим на .
Этап 2.8.1.3
Вычтем из .
Этап 2.8.1.4
Перепишем в виде .
Этап 2.8.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.8.1.4.2
Перепишем в виде .
Этап 2.8.1.5
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 2.8.2
Умножим на .
Этап 2.8.3
Упростим .
Этап 2.8.4
Заменим на .
Этап 2.9
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
Этап 3
Этап 3.1
Подставим в , чтобы найти значение .
Этап 3.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 3.1.2
Упростим результат.
Этап 3.1.2.1
Упростим каждый член.
Этап 3.1.2.1.1
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 3.1.2.1.2
Упростим каждый член.
Этап 3.1.2.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.2.2
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.2.3
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.2.4
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.2.5
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.2.6
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.2.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.1.2.1.2.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.1.2.1.2.6.3
Объединим и .
Этап 3.1.2.1.2.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 3.1.2.1.2.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.2.1.2.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.2.1.2.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 3.1.2.1.2.7
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.2.8
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.2.9
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.2.10
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.2.11
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.2.11.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.2.11.2
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.2.12
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 3.1.2.1.2.13
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.2.14
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.2.14.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.1.2.1.2.14.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.1.2.1.2.14.3
Объединим и .
Этап 3.1.2.1.2.14.4
Сократим общий множитель и .
Этап 3.1.2.1.2.14.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.2.14.4.2
Сократим общие множители.
Этап 3.1.2.1.2.14.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.2.14.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.2.1.2.14.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.2.1.2.14.4.2.4
Разделим на .
Этап 3.1.2.1.2.15
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.3
Добавим и .
Этап 3.1.2.1.4
Добавим и .
Этап 3.1.2.1.5
Добавим и .
Этап 3.1.2.1.6
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 3.1.2.1.7
Упростим каждый член.
Этап 3.1.2.1.7.1
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.7.2
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.7.3
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.7.4
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.7.5
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.7.5.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.1.2.1.7.5.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.1.2.1.7.5.3
Объединим и .
Этап 3.1.2.1.7.5.4
Сократим общий множитель .
Этап 3.1.2.1.7.5.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.2.1.7.5.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.2.1.7.5.5
Найдем экспоненту.
Этап 3.1.2.1.7.6
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.7.7
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.7.8
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.7.9
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.7.9.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.7.9.2
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.7.10
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 3.1.2.1.8
Добавим и .
Этап 3.1.2.1.9
Добавим и .
Этап 3.1.2.1.10
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.1.2.1.11
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.12
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.13
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.14
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 3.1.2.1.14.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.1.2.1.14.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.1.2.1.14.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.1.2.1.15
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 3.1.2.1.15.1
Упростим каждый член.
Этап 3.1.2.1.15.1.1
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.15.1.2
Перенесем влево от .
Этап 3.1.2.1.15.1.3
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 3.1.2.1.15.1.4
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.15.1.5
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.15.1.6
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 3.1.2.1.15.2
Добавим и .
Этап 3.1.2.1.15.3
Добавим и .
Этап 3.1.2.1.16
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.1.2.1.17
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.18
Умножим на .
Этап 3.1.2.1.19
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.1.2.1.20
Умножим на .
Этап 3.1.2.2
Упростим путем добавления членов.
Этап 3.1.2.2.1
Вычтем из .
Этап 3.1.2.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 3.1.2.2.2.1
Добавим и .
Этап 3.1.2.2.2.2
Добавим и .
Этап 3.1.2.2.2.3
Вычтем из .
Этап 3.1.2.2.3
Вычтем из .
Этап 3.1.2.2.4
Добавим и .
Этап 3.1.2.2.5
Добавим и .
Этап 3.1.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 3.2
Подставляя в , найдем точку . Эта точка может быть точкой перегиба.
Этап 3.3
Подставим в , чтобы найти значение .
Этап 3.3.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 3.3.2
Упростим результат.
Этап 3.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 3.3.2.1.1
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 3.3.2.1.2
Упростим каждый член.
Этап 3.3.2.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.2.2
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.2.3
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2.4
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2.5
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.2.6
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2.7
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.2.8
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.2.9
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2.10
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.2.10.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.3.2.1.2.10.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.3.2.1.2.10.3
Объединим и .
Этап 3.3.2.1.2.10.4
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.2.10.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.2.10.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.2.10.5
Найдем экспоненту.
Этап 3.3.2.1.2.11
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2.12
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2.13
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.2.14
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.2.15
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.2.16
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.2.17
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.2.17.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.2.17.2
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.2.18
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 3.3.2.1.2.19
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2.20
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2.21
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.2.22
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.2.23
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.2.24
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.2.24.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.3.2.1.2.24.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.3.2.1.2.24.3
Объединим и .
Этап 3.3.2.1.2.24.4
Сократим общий множитель и .
Этап 3.3.2.1.2.24.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.2.24.4.2
Сократим общие множители.
Этап 3.3.2.1.2.24.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.2.24.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.2.24.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.2.24.4.2.4
Разделим на .
Этап 3.3.2.1.2.25
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.3
Добавим и .
Этап 3.3.2.1.4
Добавим и .
Этап 3.3.2.1.5
Вычтем из .
Этап 3.3.2.1.6
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 3.3.2.1.7
Упростим каждый член.
Этап 3.3.2.1.7.1
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.7.2
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.7.3
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.7.4
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.7.5
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.7.6
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.7.7
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.7.8
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.7.9
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.7.9.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.3.2.1.7.9.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.3.2.1.7.9.3
Объединим и .
Этап 3.3.2.1.7.9.4
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.7.9.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.7.9.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.7.9.5
Найдем экспоненту.
Этап 3.3.2.1.7.10
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.7.11
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.7.12
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.7.13
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.7.14
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.7.15
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.7.15.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.7.15.2
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.7.16
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 3.3.2.1.7.17
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.8
Добавим и .
Этап 3.3.2.1.9
Вычтем из .
Этап 3.3.2.1.10
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.2.1.11
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.12
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.13
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.14
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 3.3.2.1.14.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.2.1.14.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.2.1.14.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.2.1.15
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 3.3.2.1.15.1
Упростим каждый член.
Этап 3.3.2.1.15.1.1
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.15.1.2
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.15.1.3
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.15.1.4
Умножим .
Этап 3.3.2.1.15.1.4.1
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.15.1.4.2
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.15.1.4.3
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.15.1.4.4
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.15.1.4.5
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.2.1.15.1.4.6
Добавим и .
Этап 3.3.2.1.15.1.5
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.15.1.5.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.3.2.1.15.1.5.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.3.2.1.15.1.5.3
Объединим и .
Этап 3.3.2.1.15.1.5.4
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.15.1.5.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.15.1.5.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.15.1.5.5
Найдем экспоненту.
Этап 3.3.2.1.15.2
Добавим и .
Этап 3.3.2.1.15.3
Вычтем из .
Этап 3.3.2.1.16
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.2.1.17
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.18
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.19
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.2.1.20
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.21
Умножим на .
Этап 3.3.2.2
Упростим путем добавления членов.
Этап 3.3.2.2.1
Вычтем из .
Этап 3.3.2.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 3.3.2.2.2.1
Добавим и .
Этап 3.3.2.2.2.2
Добавим и .
Этап 3.3.2.2.2.3
Вычтем из .
Этап 3.3.2.2.3
Добавим и .
Этап 3.3.2.2.4
Вычтем из .
Этап 3.3.2.2.5
Вычтем из .
Этап 3.3.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 3.4
Подставляя в , найдем точку . Эта точка может быть точкой перегиба.
Этап 3.5
Определим точки, которые могут быть точками перегиба.
Этап 4
Разобьем на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.1.3
Умножим на .
Этап 5.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 5.2.2.1
Вычтем из .
Этап 5.2.2.2
Добавим и .
Этап 5.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.1.3
Умножим на .
Этап 6.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 6.2.2.1
Вычтем из .
Этап 6.2.2.2
Добавим и .
Этап 6.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим каждый член.
Этап 7.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.2.1.3
Умножим на .
Этап 7.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 7.2.2.1
Вычтем из .
Этап 7.2.2.2
Добавим и .
Этап 7.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 8
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Этап 9