Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 2$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 24 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x^{2} - 24 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $6 x^{2} - 24$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 24]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x + 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x$ .

$12 x$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$x = 0$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 2$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 - 2$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 2$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 2$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим $- 24$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (0) = - 2$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 2$ , найдем точку $(0, - 2)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, - 2)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 12 (- 0.1)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $12$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.2$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $- 1.2$ .

$- 1.2$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 1.2$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 12 (0.1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $12$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 1.2$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $1.2$ .

$1.2$

Этап 6.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $1.2$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

Этап 8