Математический анализ Примеры

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

Этап 1

Запишем $y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ в виде функции.

$f (x) = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 51 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 51 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 51$ является константой относительно $x$ , производная $- 51 x^{2}$ по $x$ равна $- 51 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 51$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 180$ является константой относительно $x$ , производная $- 180 x$ по $x$ равна $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.4.3

Умножим $- 180$ на $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + \frac{d}{d x} (11)$

Этап 2.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + 0$

Этап 2.1.5.2

Добавим $12 x^{2} - 102 x - 180$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 102 x - 180$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12 x^{2} - 102 x - 180$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 102 x - 180 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 102 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) - 180 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 180$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) + 6 (- 30) = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30) = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30)$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 30 = - 60$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 x$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.2

Запишем $- 17$ как $3$ плюс $- 20$

$6 (2 x^{2} + (3 - 20) x - 30) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (2 x^{2} + 3 x - 20 x - 30) = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 20 x - 30) = 0$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$6 (x (2 x + 3) - 10 (2 x + 3)) = 0$

Этап 3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 3$ .

$6 ((2 x + 3) (x - 10)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 10 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3.5

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{2}, 10$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $- \frac{3}{2}, 10$ .

$- \frac{3}{2}, 10$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 10) \cup (10, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{3}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{2} - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2.5$ в степень $2$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot 6.25 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $6.25$ .

$f' (- 2.5) = 75 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 102$ на $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 75 + 255 - 180$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $75$ и $255$ .

$f' (- 2.5) = 330 - 180$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $180$ из $330$ .

$f' (- 2.5) = 150$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $150$ .

$150$

Этап 6.3

При $x = - 2.5$ производная имеет вид $150$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{3}{2})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1.5, 10)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.25$ .

$f' (4.25) = 12 {(4.25)}^{2} - 102 \cdot 4.25 - 180$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $4.25$ в степень $2$ .

$f' (4.25) = 12 \cdot 18.0625 - 102 \cdot 4.25 - 180$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $18.0625$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 102 \cdot 4.25 - 180$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 102$ на $4.25$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 433.5 - 180$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $433.5$ из $216.75$ .

$f' (4.25) = - 216.75 - 180$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $180$ из $- 216.75$ .

$f' (4.25) = - 396.75$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 396.75$ .

$- 396.75$

Этап 7.3

При $x = 4.25$ производная имеет вид $- 396.75$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1.5, 10)$ .

Убывание на $(- \frac{3}{2}, 10)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(10, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $11$ .

$f' (11) = 12 {(11)}^{2} - 102 \cdot 11 - 180$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f' (11) = 12 \cdot 121 - 102 \cdot 11 - 180$

Этап 8.2.1.2

Умножим $12$ на $121$ .

$f' (11) = 1452 - 102 \cdot 11 - 180$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 102$ на $11$ .

$f' (11) = 1452 - 1122 - 180$

Этап 8.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $1122$ из $1452$ .

$f' (11) = 330 - 180$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $180$ из $330$ .

$f' (11) = 150$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $150$ .

$150$

Этап 8.3

При $x = 11$ производная имеет вид $150$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(10, \infty)$ .

Возрастание в области $(10, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \frac{3}{2}), (10, \infty)$

Убывание на: $(- \frac{3}{2}, 10)$

Этап 10