Математический анализ Примеры

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Этап 1

Запишем $y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ в виде функции.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x - 4 \ln (3 x - 4)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \ln (3 x - 4)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Этап 2.1.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Этап 2.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Этап 2.1.2.3

По правилу суммы производная $3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Этап 2.1.2.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

Этап 2.1.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

Этап 2.1.2.8

Добавим $3$ и $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

Этап 2.1.2.9

Объединим $\frac{1}{3 x - 4}$ и $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

Этап 2.1.2.10

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3 x - 4}$ .

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

Этап 2.1.2.11

Умножим $- 4$ на $3$ .

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

Этап 2.1.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

Этап 2.1.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

Этап 2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

Этап 2.1.3.3

Вычтем $12$ из $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 x - 16 = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 16$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $3 x = 16$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $3 x = 16$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{3}$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x - 4 = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

Этап 7

Исключим интервалы, не входящие в область определения.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(1.3333334, \frac{16}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $3$ на $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $16$ из $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $3$ на $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $4$ из $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

Этап 8.2.3

Разделим $- 5.99999965$ на $6.00000035$ .

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.99999988$ .

$- 0.99999988$

Этап 8.3

При $x = 3.33333345$ производная имеет вид $- 0.99999988$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(1.3333334, \frac{16}{3})$ .

Убывание на $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Исключим интервалы, не входящие в область определения.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(\frac{16}{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $3$ на $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Этап 10.2.1.2

Вычтем $16$ из $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $3$ на $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $4$ из $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

Этап 10.2.3

Разделим $3.0000005$ на $15.0000005$ .

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $0.20000002$ .

$0.20000002$

Этап 10.3

При $x = 6.3333335$ производная имеет вид $0.20000002$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{16}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{16}{3}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{16}{3}, \infty)$

Убывание на: $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Этап 12