Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ , $[0, 2]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$8 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x - 2 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $8 x - 2$ и $0$ .

$f' (x) = 8 x - 2$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x - 2$ .

$8 x - 2$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(0, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(0, 2)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(0, 2)$ , поскольку производная является непрерывной на $(0, 2)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[0, 2]$ , дифференцируемое в области $(0, 2)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ , дифференцируемое в области $(0, 2)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Этап 7.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Этап 7.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Этап 7.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (0) = 3$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[0, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 3$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3$

Этап 8.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f (2) = 16 - 2 \cdot 2 + 3$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (2) = 16 - 4 + 3$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $4$ из $16$ .

$f (2) = 12 + 3$

Этап 8.2.2.2

Добавим $12$ и $3$ .

$f (2) = 15$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $15$ .

$15$

Этап 9

Решим $8 x - 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $8 x - 2 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $\frac{(15) - (3)}{(2) - (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$8 x - 2 = \frac{15 - 3}{2 - (0)}$

Этап 9.1.1.2

Вычтем $3$ из $15$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 - (0)}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 + 0}$

Этап 9.1.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2}$

Этап 9.1.3

Разделим $12$ на $2$ .

$8 x - 2 = 6$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$8 x = 6 + 2$

Этап 9.2.2

Добавим $6$ и $2$ .

$8 x = 8$

Этап 9.3

Разделим каждый член $8 x = 8$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член $8 x = 8$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Этап 9.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{8}$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Разделим $8$ на $8$ .

$x = 1$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2$ , находится в точке $x = 1$ .

Касательная в точке $x = 1$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = 2$ .

Этап 11