Математический анализ Примеры

$y = x \sqrt{4 - x}$

Этап 1

Запишем $y = x \sqrt{4 - x}$ в виде функции.

$f (x) = x \sqrt{4 - x}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.8.3

Перенесем ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.9

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.14.2

Объединим $\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.14.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.1.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 2.1.1.16

Умножим ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.1.1.17

Чтобы записать ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.18

Объединим ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20

Умножим ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.20.1

Перенесем ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.21

Упростим ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.22

Перенесем $2$ влево от $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.23.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.2.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.4

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.6

Перепишем $- (3 x - 8)$ в виде $- 1 (3 x - 8)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.23.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 8$ и $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Этап 2.1.2.4

Упростим.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

По правилу суммы производная $3 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Этап 2.1.2.5.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Этап 2.1.2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Этап 2.1.2.5.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Этап 2.1.2.5.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Этап 2.1.2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Этап 2.1.2.5.6.2

Перенесем $3$ влево от ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Этап 2.1.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.11.3

Перенесем ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.12

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.13

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.14

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.16

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.16.2

Умножим $3 x - 8$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Этап 2.1.2.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{4 - x}$

Этап 2.1.2.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.18.1

Умножим $3 x - 8$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{4 - x}$

Этап 2.1.2.18.2

Умножим $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(4 - x) \cdot 2}$

Этап 2.1.2.18.3

Перенесем $2$ влево от $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (4 - x)}$

Этап 2.1.2.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1

Пусть $u_{2} = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.1.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.2.1

Перенесем $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.1.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.3.1.2

Упростим.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 4 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.3.1.4

Умножим $6$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 - 6 x + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.3.2

Вычтем $8$ из $24$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.2.3.3

Добавим $- 6 x$ и $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 + 2 (- x)}$

Этап 2.1.2.19.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$

Этап 2.1.2.19.3.3

Перепишем $\frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 - 2 x})$

Этап 2.1.2.19.3.4

Умножим $\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{8 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (8 - 2 x)}$

Этап 2.1.2.19.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) - 2 x)}$

Этап 2.1.2.19.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) + 2 (- x))}$

Этап 2.1.2.19.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (4 - x))}$

Этап 2.1.2.19.4.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.4.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (4 - x)}$

Этап 2.1.2.19.4.2.2

Возведем $4 - x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 ((4 - x) {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.1.2.19.4.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.4.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.4.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.6

Перепишем $16$ в виде $- 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.8

Перепишем $- (3 x - 16)$ в виде $- 1 (3 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.2.19.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.1.2.19.11

Умножим $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 x - 16 = 0$

Этап 2.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 16$

Этап 2.2.3.2

Разделим каждый член $3 x = 16$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Разделим каждый член $3 x = 16$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Этап 2.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Этап 2.2.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Этап 2.2.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = x \sqrt{4 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 - x \geq 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 4$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x \leq 4$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 4]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 4}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 4]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 4}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 4]$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 4]$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 (0) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $3 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot - 4}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 \cdot (0)) + 4 (- 4)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 ({(4 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot (0) - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вычтем $0$ из $4$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.6.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 5.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 5.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{3}}$

Этап 5.2.6.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{8}$

Этап 5.2.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f'' (0) = \frac{4 (- 1)}{8}$

Этап 5.2.7.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Этап 5.2.7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Этап 5.2.7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, 4]$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 4]$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6