Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{3 - x}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - x}$ в виде ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 3 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8.3

Перенесем ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.9

По правилу суммы производная $3 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.14.2

Объединим $\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.14.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.1.16

Умножим ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.1.17

Чтобы записать ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.18

Объединим ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.20

Умножим ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.20.1

Перенесем ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.21

Упростим ${(3 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.22

Перенесем $2$ влево от $3 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 3 + 2 (- x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.23.2.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6 + 2 (- x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6 - 2 x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.2.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 6}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.23.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x) + 6}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.3.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x) + 3 (2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x) + 3 (2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x) + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.5

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.7

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.1.23.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{3 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Этап 1.1.2.4

Упростим.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Этап 1.1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Этап 1.1.2.5.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Этап 1.1.2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Этап 1.1.2.5.4.2

Умножим ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Этап 1.1.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.11.3

Перенесем ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.12

По правилу суммы производная $3 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.13

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.14

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.16

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.16.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.16.2

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Этап 1.1.2.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{3 - x}$

Этап 1.1.2.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.18.1

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{3 - x}$

Этап 1.1.2.18.2

Умножим $\frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 - x}$ на $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot 3}{(3 - x) \cdot 2}$

Этап 1.1.2.18.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.18.3.1

Перенесем $3$ влево от ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{(3 - x) \cdot 2}$

Этап 1.1.2.18.3.2

Перенесем $2$ влево от $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot (3 - x)}$

Этап 1.1.2.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (3 - x)}$

Этап 1.1.2.19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.2

Пусть $u_{2} = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.3.2.2.1

Перенесем $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.2.2.2

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.3.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.3.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.3.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.4.1.2

Упростим.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 \cdot 3 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.4.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{6 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.4.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{6 - 2 x + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.4.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 2 x + x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.3.4.3

Добавим $- 2 x$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.4.1

Объединим $3$ и $\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 + 2 (- x)}$

Этап 1.1.2.19.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$

Этап 1.1.2.19.4.4

Перепишем $\frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 - 2 x})$

Этап 1.1.2.19.4.5

Умножим $\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{6 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (6 - 2 x)}$

Этап 1.1.2.19.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) - 2 x)}$

Этап 1.1.2.19.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) + 2 (- x))}$

Этап 1.1.2.19.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (3 - x))}$

Этап 1.1.2.19.5.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.5.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 - x)}$

Этап 1.1.2.19.5.2.2

Возведем $3 - x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 ((3 - x) {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.1.2.19.5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.19.5.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.19.5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 1.1.2.19.5.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.2.19.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x) + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.2.19.7

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.2.19.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.2.19.9

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 1 (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.2.19.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.2.19.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 1.1.2.19.12

Умножим $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 (x - 4) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $3 (x - 4) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим каждый член $3 (x - 4) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.3.1.2.1.2

Разделим $x - 4$ на $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.4

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = x \sqrt{3 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 - x \geq 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 3$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x \leq 3$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 3}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 3]$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 3]$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 ((0) - 4)}{4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $3 ((0) - 4)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 1))}{4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 1))}{4 ({(3 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 1))}{4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{3 (0 - 1)}{{(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 1}{{(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $3$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (0) = \frac{- 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = - \frac{3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2.7

Перенесем $3^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}}$

Этап 4.2.8

Умножим $3^{\frac{3}{2}}$ на $3^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2} - 1}}$

Этап 4.2.8.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.8.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.2.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.2.8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Этап 4.2.8.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.9

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, 3]$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 3]$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5