Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем вторую производную.
Этап 2.1.1
Найдем первую производную.
Этап 2.1.1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.1.1.1.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 2.1.1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.1.1.2
Продифференцируем.
Этап 2.1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.1.2.2
Объединим и .
Этап 2.1.1.2.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.1.2.4
Упростим члены.
Этап 2.1.1.2.4.1
Умножим на .
Этап 2.1.1.2.4.2
Объединим и .
Этап 2.1.1.2.4.3
Объединим и .
Этап 2.1.1.2.4.4
Сократим общий множитель и .
Этап 2.1.1.2.4.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.1.2.4.4.2
Сократим общие множители.
Этап 2.1.1.2.4.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.1.2.4.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.1.2.4.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.1.2.4.5
Упростим выражение.
Этап 2.1.1.2.4.5.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.1.2.4.5.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 2.1.2
Найдем вторую производную.
Этап 2.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.1.2.3.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 2.1.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.1.2.4
Продифференцируем.
Этап 2.1.2.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.2.4.2
Объединим дроби.
Этап 2.1.2.4.2.1
Объединим и .
Этап 2.1.2.4.2.2
Объединим и .
Этап 2.1.2.4.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.4.4
Объединим дроби.
Этап 2.1.2.4.4.1
Умножим на .
Этап 2.1.2.4.4.2
Объединим и .
Этап 2.1.2.4.4.3
Объединим и .
Этап 2.1.2.5
Возведем в степень .
Этап 2.1.2.6
Возведем в степень .
Этап 2.1.2.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.1.2.8
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 2.1.2.8.1
Добавим и .
Этап 2.1.2.8.2
Сократим общий множитель и .
Этап 2.1.2.8.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.8.2.2
Сократим общие множители.
Этап 2.1.2.8.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.8.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.1.2.8.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.1.2.8.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.1.2.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.10
Умножим на .
Этап 2.1.2.11
Упростим.
Этап 2.1.2.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.11.2
Объединим термины.
Этап 2.1.2.11.2.1
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.2.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.2.3
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.2.4
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.2.5
Объединим и .
Этап 2.1.3
Вторая производная по равна .
Этап 2.2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Этап 2.2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 2.2.2
Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.
Этап 3
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 4
Создадим интервалы вокруг значений , в которых вторая производная равна нулю или не определена.
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.1
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 5.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 5.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 5.2.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.2.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.6
Сократим общие множители.
Этап 5.2.1.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.6.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.1.6.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.2.1.7
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 5.2.1.8
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.9
Сократим общий множитель и .
Этап 5.2.1.9.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.9.2
Сократим общие множители.
Этап 5.2.1.9.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.9.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.1.9.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 5.2.3.1
Умножим на .
Этап 5.2.3.2
Умножим на .
Этап 5.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.2.5
Вычтем из .
Этап 5.2.6
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.2.1.2
Упростим числитель.
Этап 6.2.1.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.2.1.2.2
Разделим на .
Этап 6.2.1.2.3
Умножим на .
Этап 6.2.1.2.4
Любое число в степени равно .
Этап 6.2.1.3
Умножим на .
Этап 6.2.1.4
Разделим на .
Этап 6.2.1.5
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.2.1.6
Упростим числитель.
Этап 6.2.1.6.1
Разделим на .
Этап 6.2.1.6.2
Умножим на .
Этап 6.2.1.6.3
Любое число в степени равно .
Этап 6.2.2
Вычтем из .
Этап 6.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим каждый член.
Этап 7.2.1.1
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 7.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 7.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 7.2.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.1.6
Сократим общие множители.
Этап 7.2.1.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.1.6.2
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.1.6.3
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.1.7
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 7.2.1.8
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.9
Сократим общий множитель и .
Этап 7.2.1.9.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.1.9.2
Сократим общие множители.
Этап 7.2.1.9.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.1.9.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.1.9.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 7.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 7.2.3.1
Умножим на .
Этап 7.2.3.2
Умножим на .
Этап 7.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.2.5
Вычтем из .
Этап 7.2.6
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 8
График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 9