Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем вторую производную.
Этап 2.1.1
Найдем первую производную.
Этап 2.1.1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.1.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.1.1.2
Продифференцируем.
Этап 2.1.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.1.2.4
Упростим выражение.
Этап 2.1.1.2.4.1
Добавим и .
Этап 2.1.1.2.4.2
Умножим на .
Этап 2.1.1.2.4.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 2.1.2
Найдем вторую производную.
Этап 2.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.1.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.1.2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.1.2.4
Продифференцируем.
Этап 2.1.2.4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.4.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.2.4.4
Упростим выражение.
Этап 2.1.2.4.4.1
Добавим и .
Этап 2.1.2.4.4.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.5
Возведем в степень .
Этап 2.1.2.6
Возведем в степень .
Этап 2.1.2.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.1.2.8
Добавим и .
Этап 2.1.2.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.2.10
Умножим на .
Этап 2.1.2.11
Упростим.
Этап 2.1.2.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.11.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.11.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.11.4
Объединим термины.
Этап 2.1.2.11.4.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.1.2.11.4.1.1
Перенесем .
Этап 2.1.2.11.4.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.1.2.11.4.1.3
Добавим и .
Этап 2.1.2.11.4.2
Перенесем влево от .
Этап 2.1.2.11.4.3
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.4.4
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.4.5
Перенесем влево от .
Этап 2.1.2.11.4.6
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.5
Упростим каждый член.
Этап 2.1.2.11.5.1
Перепишем в виде .
Этап 2.1.2.11.5.2
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 2.1.2.11.5.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.11.5.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.11.5.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.11.5.3
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 2.1.2.11.5.3.1
Упростим каждый член.
Этап 2.1.2.11.5.3.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.1.2.11.5.3.1.1.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.1.2.11.5.3.1.1.2
Добавим и .
Этап 2.1.2.11.5.3.1.2
Перенесем влево от .
Этап 2.1.2.11.5.3.1.3
Перепишем в виде .
Этап 2.1.2.11.5.3.1.4
Перепишем в виде .
Этап 2.1.2.11.5.3.1.5
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.5.3.2
Вычтем из .
Этап 2.1.2.11.5.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.1.2.11.5.5
Упростим.
Этап 2.1.2.11.5.5.1
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.5.5.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.11.6
Добавим и .
Этап 2.1.2.11.7
Вычтем из .
Этап 2.1.3
Вторая производная по равна .
Этап 2.2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Этап 2.2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 2.2.2
Подставим в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.
Этап 2.2.3
Разложим левую часть уравнения на множители.
Этап 2.2.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3.2
Разложим на множители.
Этап 2.2.3.2.1
Разложим на множители методом группировки
Этап 2.2.3.2.1.1
Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .
Этап 2.2.3.2.1.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3.2.1.1.2
Запишем как плюс
Этап 2.2.3.2.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.2.3.2.1.2
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Этап 2.2.3.2.1.2.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 2.2.3.2.1.2.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 2.2.3.2.1.3
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 2.2.3.2.2
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 2.2.4
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 2.2.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.2.5.1
Приравняем к .
Этап 2.2.5.2
Решим относительно .
Этап 2.2.5.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.2.5.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.2.5.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.2.5.2.2.2
Упростим левую часть.
Этап 2.2.5.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.2.5.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.5.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.2.6
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.2.6.1
Приравняем к .
Этап 2.2.6.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.2.7
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 2.2.8
Подставим вещественное значение обратно в решенное уравнение.
Этап 2.2.9
Решим первое уравнение относительно .
Этап 2.2.10
Решим уравнение относительно .
Этап 2.2.10.1
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 2.2.10.2
Упростим .
Этап 2.2.10.2.1
Перепишем в виде .
Этап 2.2.10.2.2
Любой корень из равен .
Этап 2.2.10.2.3
Умножим на .
Этап 2.2.10.2.4
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 2.2.10.2.4.1
Умножим на .
Этап 2.2.10.2.4.2
Возведем в степень .
Этап 2.2.10.2.4.3
Возведем в степень .
Этап 2.2.10.2.4.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.10.2.4.5
Добавим и .
Этап 2.2.10.2.4.6
Перепишем в виде .
Этап 2.2.10.2.4.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 2.2.10.2.4.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.2.10.2.4.6.3
Объединим и .
Этап 2.2.10.2.4.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 2.2.10.2.4.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.10.2.4.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.2.10.2.4.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 2.2.10.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.2.10.3.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 2.2.10.3.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 2.2.10.3.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.2.11
Решим второе уравнение относительно .
Этап 2.2.12
Решим уравнение относительно .
Этап 2.2.12.1
Избавимся от скобок.
Этап 2.2.12.2
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 2.2.12.3
Любой корень из равен .
Этап 2.2.12.4
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.2.12.4.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 2.2.12.4.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 2.2.12.4.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.2.13
Решением является .
Этап 3
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 4
Создадим интервалы вокруг значений , в которых вторая производная равна нулю или не определена.
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.4
Умножим на .
Этап 5.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 5.2.2.1
Вычтем из .
Этап 5.2.2.2
Добавим и .
Этап 5.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.4
Умножим на .
Этап 6.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 6.2.2.1
Вычтем из .
Этап 6.2.2.2
Добавим и .
Этап 6.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим каждый член.
Этап 7.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 7.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.2.1.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 7.2.1.4
Умножим на .
Этап 7.2.2
Упростим путем добавления чисел.
Этап 7.2.2.1
Добавим и .
Этап 7.2.2.2
Добавим и .
Этап 7.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 8
Этап 8.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 8.2
Упростим результат.
Этап 8.2.1
Упростим каждый член.
Этап 8.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 8.2.1.2
Умножим на .
Этап 8.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 8.2.1.4
Умножим на .
Этап 8.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 8.2.2.1
Вычтем из .
Этап 8.2.2.2
Добавим и .
Этап 8.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 8.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 9
Этап 9.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 9.2
Упростим результат.
Этап 9.2.1
Упростим каждый член.
Этап 9.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 9.2.1.2
Умножим на .
Этап 9.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 9.2.1.4
Умножим на .
Этап 9.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 9.2.2.1
Вычтем из .
Этап 9.2.2.2
Добавим и .
Этап 9.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 9.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 10
График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 11