Математический анализ Примеры

${(x^{2} - 1)}^{3}$

Этап 1

Запишем ${(x^{2} - 1)}^{3}$ в виде функции.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 2.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 2.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.1.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Этап 2.1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Этап 2.1.1.2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Этап 2.1.1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

Этап 2.1.2.10

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{2}$ на $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Этап 2.1.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Этап 2.1.2.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Этап 2.1.2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.11.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.4.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.11.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.11.4.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.11.4.2

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.11.4.3

Умножим $4$ на $6$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.11.4.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.11.4.5

Перенесем $- 4$ влево от $x^{2}$ .

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.11.4.6

Умножим $- 4$ на $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 2.1.2.11.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.5.1

Перепишем ${(x^{2} - 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.2.11.5.2

Развернем $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.2.11.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

Этап 2.1.2.11.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.1.2.11.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.5.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.5.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.1.2.11.5.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.1.2.11.5.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.1.2.11.5.3.1.3

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.1.2.11.5.3.1.4

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Этап 2.1.2.11.5.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

Этап 2.1.2.11.5.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

Этап 2.1.2.11.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

Этап 2.1.2.11.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.5.5.1

Умножим $- 2$ на $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

Этап 2.1.2.11.5.5.2

Умножим $6$ на $1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

Этап 2.1.2.11.6

Добавим $24 x^{4}$ и $6 x^{4}$ .

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

Этап 2.1.2.11.7

Вычтем $12 x^{2}$ из $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$

Этап 2.2.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$30 u^{2} - 36 u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $6$ из $30 u^{2} - 36 u + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $30 u^{2}$ .

$6 (5 u^{2}) - 36 u + 6 = 0$

Этап 2.2.3.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 36 u$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 = 0$

Этап 2.2.3.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 (1) = 0$

Этап 2.2.3.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1) = 0$

Этап 2.2.3.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

Этап 2.2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 u$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

Этап 2.2.3.2.1.1.2

Запишем $- 6$ как $- 1$ плюс $- 5$

$6 (5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1) = 0$

Этап 2.2.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1) = 0$

Этап 2.2.3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$6 ((5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1) = 0$

Этап 2.2.3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$6 (u (5 u - 1) - (5 u - 1)) = 0$

Этап 2.2.3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 u - 1$ .

$6 ((5 u - 1) (u - 1)) = 0$

Этап 2.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$

Этап 2.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 2.2.5

Приравняем $5 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $5 u - 1$ к $0$ .

$5 u - 1 = 0$

Этап 2.2.5.2

Решим $5 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 u = 1$

Этап 2.2.5.2.2

Разделим каждый член $5 u = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 u = 1$ на $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 2.2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 2.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{5}, 1$

Этап 2.2.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 2.2.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Этап 2.2.10.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.2.10.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 2.2.10.2.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 2.2.10.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.2.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 2.2.10.2.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 2.2.10.2.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 2.2.10.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.10.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.2.10.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.10.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.10.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.10.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.10.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 2.2.10.2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 2.2.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 2.2.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 2.2.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 2.2.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 2.2.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 1$

Этап 2.2.12.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.2.12.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.2.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.2.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.2.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 2.2.13

Решением $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ является $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = 30 {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f'' (- 4) = 30 \cdot 256 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Этап 5.2.1.2

Умножим $30$ на $256$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 36$ на $16$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 576 + 6$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $576$ из $7680$ .

$f'' (- 4) = 7104 + 6$

Этап 5.2.2.2

Добавим $7104$ и $6$ .

$f'' (- 4) = 7110$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $7110$ .

$7110$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.72$ .

$f'' (- 0.72) = 30 {(- 0.72)}^{4} - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.72$ в степень $4$ .

$f'' (- 0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Этап 6.2.1.2

Умножим $30$ на $0.26873856$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 0.72$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 36$ на $0.5184$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $18.6624$ из $8.0621568$ .

$f'' (- 0.72) = - 10.6002432 + 6$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 10.6002432$ и $6$ .

$f'' (- 0.72) = - 4.6002432$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ , поскольку $f'' (- 0.72)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Этап 7.2.1.2

Умножим $30$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Этап 7.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 6$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 36$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 6$

Этап 7.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Этап 7.2.2.2

Добавим $0$ и $6$ .

$f'' (0) = 6$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

Подставим любое число из интервала $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.72$ .

$f'' (0.72) = 30 {(0.72)}^{4} - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.72$ в степень $4$ .

$f'' (0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Этап 8.2.1.2

Умножим $30$ на $0.26873856$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Этап 8.2.1.3

Возведем $0.72$ в степень $2$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 36$ на $0.5184$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $18.6624$ из $8.0621568$ .

$f'' (0.72) = - 10.6002432 + 6$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 10.6002432$ и $6$ .

$f'' (0.72) = - 4.6002432$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

Этап 8.3

График вогнут вниз на интервале $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ , поскольку $f'' (0.72)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 9

Подставим любое число из интервала $(1, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = 30 {(4)}^{4} - 36 {(4)}^{2} + 6$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f'' (4) = 30 \cdot 256 - 36 {(4)}^{2} + 6$

Этап 9.2.1.2

Умножим $30$ на $256$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 {(4)}^{2} + 6$

Этап 9.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

Этап 9.2.1.4

Умножим $- 36$ на $16$ .

$f'' (4) = 7680 - 576 + 6$

Этап 9.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $576$ из $7680$ .

$f'' (4) = 7104 + 6$

Этап 9.2.2.2

Добавим $7104$ и $6$ .

$f'' (4) = 7110$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $7110$ .

$7110$

Этап 9.3

График вогнут вверх на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 10

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 11