Математический анализ Примеры

$5 - 2 x y = 7 x - 3 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (5 - 2 x y) = \frac{d}{d x} (7 x - 3 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $5 - 2 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$0 - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$0 - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$0 - 2 (x y' + y)$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - 2 (x y') - 2 y$

Этап 2.3.2

Вычтем $- (- 2 x y' - 2 y)$ из $0$ .

$- 2 x y' - 2 y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $7 x - 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.2.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$7 - 3 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 x y' - 2 y = 7 - 3 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $3 y'$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x y' - 2 y + 3 y' = 7$

Этап 5.2

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x y' + 3 y' = 7 + 2 y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 x y' + 3 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 x y'$ .

$y' (- 2 x) + 3 y' = 7 + 2 y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $3 y'$ .

$y' (- 2 x) + y' \cdot 3 = 7 + 2 y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 2 x) + y' \cdot 3$ .

$y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$ на $- 2 x + 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$ на $- 2 x + 3$ .

$\frac{y' (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3} = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3} = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{7 + 2 y}{- 2 x + 3}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x) + 3}$

Этап 5.4.3.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x) - 1 (- 3)}$

Этап 5.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.5

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.1

Перепишем $- (2 x - 3)$ в виде $- 1 (2 x - 3)$ .

$y' = \frac{7 + 2 y}{- 1 (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{7 + 2 y}{2 x - 3}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 + 2 y}{2 x - 3}$