Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1.1
Продифференцируем.
Этап 1.1.1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.2
Найдем значение .
Этап 1.1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.2.3
Умножим на .
Этап 1.1.1.3
Продифференцируем, используя правило константы.
Этап 1.1.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.1.3.2
Добавим и .
Этап 1.1.2
Найдем вторую производную.
Этап 1.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.2
Найдем значение .
Этап 1.1.2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.2.3
Умножим на .
Этап 1.1.2.3
Найдем значение .
Этап 1.1.2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3.3
Умножим на .
Этап 1.1.3
Вторая производная по равна .
Этап 1.2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Этап 1.2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 1.2.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 1.2.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 1.2.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.2.3.2
Упростим левую часть.
Этап 1.2.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 1.2.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.2.3.3
Упростим правую часть.
Этап 1.2.3.3.1
Сократим общий множитель и .
Этап 1.2.3.3.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.3.1.2
Сократим общие множители.
Этап 1.2.3.3.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.3.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.3.3.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 1.2.5
Упростим .
Этап 1.2.5.1
Перепишем в виде .
Этап 1.2.5.2
Любой корень из равен .
Этап 1.2.5.3
Умножим на .
Этап 1.2.5.4
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 1.2.5.4.1
Умножим на .
Этап 1.2.5.4.2
Возведем в степень .
Этап 1.2.5.4.3
Возведем в степень .
Этап 1.2.5.4.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.2.5.4.5
Добавим и .
Этап 1.2.5.4.6
Перепишем в виде .
Этап 1.2.5.4.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.2.5.4.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.2.5.4.6.3
Объединим и .
Этап 1.2.5.4.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 1.2.5.4.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.5.4.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.5.4.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 1.2.6
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 1.2.6.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 1.2.6.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 1.2.6.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 3
Создадим интервалы вокруг значений , в которых вторая производная равна нулю или не определена.
Этап 4
Этап 4.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 4.2
Упростим результат.
Этап 4.2.1
Упростим каждый член.
Этап 4.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 4.2.1.2
Умножим на .
Этап 4.2.2
Вычтем из .
Этап 4.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 4.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.2
Вычтем из .
Этап 5.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
График вогнут вниз на интервале , поскольку имеет отрицательное значение.
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.2
Вычтем из .
Этап 6.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
График вогнут вверх на интервале , поскольку имеет положительное значение.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 7
График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Вогнутость вниз на интервале , поскольку меньше нуля
Вогнутость вверх на интервале , поскольку больше нуля
Этап 8