Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 1.1.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.2.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 1.1.2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.6.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Этап 1.1.2.2.6.2

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$2 x^{- 3}$

Этап 1.1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.1.2.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ и ${(- 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Этап 4.2.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из ${(- 2)}^{3}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (- 2)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ и ${(2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из ${(2)}^{3}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Этап 5.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Этап 5.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

Этап 5.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7