Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $\frac{1}{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 1.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 1.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 1.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.1.1.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Этап 1.1.1.4.2.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.1.4.2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим ${(1 + x^{2})}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2.2

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2.3

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Этап 1.1.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.11

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.15

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.16

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.17

Объединим $- 2$ и $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.19.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.19.2.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.19.3

Вынесем множитель $2$ из $2 - 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.19.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.19.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.2.19.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим каждый член $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.1.2.1.2

Разделим $1 - 3 x^{2}$ на $1$ .

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$1 - 3 x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} = - 1$

Этап 1.2.3.3

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 1.2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 1.2.3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 1.2.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Этап 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2.3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.3.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.3.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.3.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.3.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 1.2.3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.2.3.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.3.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.3.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 1.2.3.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{1 + x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 + x^{2} = 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 3$ на ${(- 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 3$ на ${(- 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведем $- 3$ в степень $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Этап 4.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $27$ из $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Этап 4.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $1$ и $9$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Этап 4.2.3.3

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Этап 4.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $2$ на $- 26$ .

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

Этап 4.2.4.2

Сократим общий множитель $- 52$ и $1000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 52$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Этап 4.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1000$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Этап 4.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Этап 4.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

Этап 4.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (- 3)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Вычтем $27$ из $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $1$ и $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $2$ на $- 26$ .

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

Этап 6.2.3.2

Сократим общий множитель $- 52$ и $1000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 52$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1000$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Этап 6.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Этап 6.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

Этап 6.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (3)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8