Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.4

Объединим $\frac{4}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.2.5.2.4

Разделим $2 x^{3}$ на $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{3} - 4 (2 x)$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 8 x$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.1.2.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 8 \cdot 1$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 8$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 8$ .

$6 x^{2} - 8$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 8 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$6 x^{2} = 8$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $6 x^{2} = 8$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $6 x^{2} = 8$ на $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{6}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Сократим общий множитель $8$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x^{2} = \frac{2 (4)}{6}$

Этап 1.2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Этап 1.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 1.2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 1.2.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.2.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 1.2.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} - 8$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 - 8$

Этап 4.2.1.2

Умножим $6$ на $16$ .

$f'' (- 4) = 96 - 8$

Этап 4.2.2

Вычтем $8$ из $96$ .

$f'' (- 4) = 88$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $88$ .

$88$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 6 {(0)}^{2} - 8$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 6 \cdot 0 - 8$

Этап 5.2.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 8$

Этап 5.2.2

Вычтем $8$ из $0$ .

$f'' (0) = - 8$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 8$ .

$- 8$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = 6 {(4)}^{2} - 8$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = 6 \cdot 16 - 8$

Этап 6.2.1.2

Умножим $6$ на $16$ .

$f'' (4) = 96 - 8$

Этап 6.2.2

Вычтем $8$ из $96$ .

$f'' (4) = 88$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $88$ .

$88$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8