Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 3$ .

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.7

Объединим $2$ и $\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 (2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (6 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4.1.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.8.4.2.1

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.8.4.2.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Этап 1.1.2.2

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 3)}^{2}$ на $1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 1.1.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$12 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.16

Объединим $12$ и $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{12 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.17.2.1

Умножим $- 3$ на $12$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.2.17.2.2

Умножим $12$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 36 x^{2} + 36 = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$- 36 x^{2} = - 36$

Этап 1.2.3.2

Разделим каждый член $- 36 x^{2} = - 36$ на $- 36$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разделим каждый член $- 36 x^{2} = - 36$ на $- 36$ .

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

Этап 1.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

Этап 1.2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 36}$

Этап 1.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Разделим $- 36$ на $- 36$ .

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 3$

Этап 2.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 2.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

Этап 2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 2.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 36 {(- 4)}^{2} + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 36$ на $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 576 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 4.2.1.3

Добавим $- 576$ и $36$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $16$ и $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

Этап 4.2.2.3

Возведем $19$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{6859}$

Этап 4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 4) = - \frac{540}{6859}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 1, 1)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 36 {(0)}^{2} + 36}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 36 \cdot 0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 36$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $0$ и $36$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(0 + 3)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{3^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{27}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $36$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $9$ из $36$ .

$f'' (0) = \frac{9 (4)}{27}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- 1, 1)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 1, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(1, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{- 36 {(4)}^{2} + 36}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 36$ на $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 576 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $- 576$ и $36$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $16$ и $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $19$ в степень $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{6859}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (4) = - \frac{540}{6859}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 1)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 1, 1)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(1, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8