Математический анализ Примеры

$y = - x^{2} + x$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h)) + x + h$

Этап 2.1.2.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

Этап 2.1.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

Этап 2.1.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Этап 2.1.2.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

Этап 2.1.2.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

Этап 2.1.2.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

Этап 2.1.2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + h + x$

Этап 2.2.2

Перенесем $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + h + x$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $- 2 h x$ и $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x - (- x^{2} + x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + 1 x^{2} - x}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x + 0 - x}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x - x}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- h^{2} - 2 h x + h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2} - 2 h x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + h}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Этап 4.1.7.3

Возведем $h$ в степень $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Этап 4.1.7.4

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.7.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.7.6

Вынесем множитель $h$ из $h (- h - 2 x) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- h - 2 x + 1$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 1$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $- h$ и $- 2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 1$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Этап 6

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 1$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- 2 x + 0 + 1$

Этап 8.2

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$- 2 x + 1$

Этап 9