Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: ${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}})}{h}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$ в виде ${({(x + h)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - x^{\frac{2}{3}}}{h}$

Этап 4.2

Перепишем $x^{\frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{h}$

Этап 4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ и $b = x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

Этап 5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + x^{\frac{1}{3}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

Этап 5.2

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

Этап 5.3

Перепишем ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

Этап 5.4

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})}{h}$

Этап 6

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} (\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{(lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.5

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.6

Найдем предел $\sqrt[3]{x}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.8

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.10

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.11

Найдем предел $\sqrt[3]{x}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.12

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.12.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + 0} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.12.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x + 0} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.13.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.13.2

Добавим $\sqrt[3]{x}$ и $\sqrt[3]{x}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.13.3

Объединим противоположные члены в $\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.13.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.13.3.2

Вычтем $\sqrt[3]{x}$ из $\sqrt[3]{x}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{x} \cdot 0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.13.4

Умножим $2 \sqrt[3]{x} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.13.4.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{0 \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.2.13.4.2

Умножим $0$ на $\sqrt[3]{x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 6.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 6.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + h}$ в виде ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + h}$ в виде ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ имеет вид $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , где $f (h) = {(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}$ и $g (h) = {(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}] + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.5

По правилу суммы производная ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ и $g (h) = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.10.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.12

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{{(x + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.13

Перенесем ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.14

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.15

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.16

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.18

Умножим $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.19

Поскольку $- \sqrt[3]{x}$ является константой относительно $h$ , производная $- \sqrt[3]{x}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.20

Добавим $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.21

По правилу суммы производная ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.22

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.22.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.22.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.22.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.23

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.24

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.26.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.26.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.27

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.28

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{{(x + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.29

Перенесем ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.30

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.31

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.32

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.33

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.34

Умножим $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.35

Поскольку $\sqrt[3]{x}$ является константой относительно $h$ , производная $\sqrt[3]{x}$ относительно $h$ равна $0$ .

Этап 6.3.36

Добавим $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.37.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.37.1.1

Умножим ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}$ на $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.1.2

Умножим ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ на $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x} + {(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.3

Объединим противоположные члены в ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x} + {(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.37.3.1

Вычтем $\sqrt[3]{x}$ из $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + 0 + {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.3.2

Добавим ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.4

Добавим ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ и ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.5

Перенесем ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}} {(x + h)}^{- \frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.6

Умножим ${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x + h)}^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.37.6.1

Перенесем ${(x + h)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 ({(x + h)}^{- \frac{1}{3}} {(x + h)}^{\frac{2}{3}})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{- 1 + 2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.37.6.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 6.3.38

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}}{1}$

Этап 6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Этап 6.5

Перепишем ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + h}} \cdot 1$

Этап 6.6

Умножим $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + h}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + h}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем член $\frac{2}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x + h}}$

Этап 7.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h}}$

Этап 7.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h}}$

Этап 7.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + h}}$

Этап 7.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}}$

Этап 7.6

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h}}$

Этап 8

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 0}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 9.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}})$

Этап 9.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 9.3.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 9.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Этап 9.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 9.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 9.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 9.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 9.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 9.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Этап 9.3.5.5

Упростим.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Этап 9.4

Объединим.

$\frac{2 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{3 x}$

Этап 9.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{x^{2}}}{3 x}$

Этап 10