Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x + 4$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 2 (x + h) + 4$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 x + 2 h + 4$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $2 x + 2 h + 4$ .

$2 x + 2 h + 4$

Этап 2.2

Изменим порядок $2 x$ и $2 h$ .

$2 h + 2 x + 4$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 4$

$f (x) = 2 x + 4$

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 4$

$f (x) = 2 x + 4$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 x + 4)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 (x) + 4)}{h}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 x + 2 \cdot 2)}{h}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 (x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - 1 \cdot (2 (x + 2))}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - 2 (x + 2)}{h}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 h + 2 x + 4 - 2 (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - 2 (x + 2)}{h}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 4 - 2 (x + 2)}{h}$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (2) - 2 (x + 2)}{h}$

Этап 4.1.3.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (x + 2)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (2) + 2 (- (x + 2))}{h}$

Этап 4.1.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 h + 2 (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x) + 2 (2) + 2 (- (x + 2))}{h}$

Этап 4.1.3.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (h + x) + 2 (2)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2) + 2 (- (x + 2))}{h}$

Этап 4.1.3.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (h + x + 2) + 2 (- (x + 2))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2 - (x + 2))}{h}$

Этап 4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2 - x - 1 \cdot 2)}{h}$

Этап 4.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2 - x - 2)}{h}$

Этап 4.1.6

Вычтем $x$ из $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0 + 2 - 2)}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим $h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 2 - 2)}{h}$

Этап 4.1.8

Вычтем $2$ из $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0)}{h}$

Этап 4.1.9

Добавим $h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Этап 4.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2$

Этап 6