Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Этап 2.1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Этап 2.1.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Этап 2.1.2.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Этап 2.1.2.5

Окончательный ответ: $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Этап 2.2.3

Перенесем $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Этап 2.2.4

Перенесем $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Этап 2.2.5

Изменим порядок $6 h^{2} x$ и $2 h^{3}$ .

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Этап 4.1.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.4.2

Вынесем множитель $2 h$ из $6 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.4.3

Вынесем множитель $2 h$ из $6 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.4.4

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.4.5

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Этап 4.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Этап 4.4

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Этап 4.5

Перенесем $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Этап 4.6

Изменим порядок $6 x h$ и $6 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Этап 6

Найдем предел $6 x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Этап 7

Вынесем член $6 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Этап 10.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $6 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Умножим $0$ на $6$ .

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

Этап 11.1.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Этап 11.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

Этап 11.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 0$

Этап 11.2

Объединим противоположные члены в $6 x^{2} + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Этап 11.2.2

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$6 x^{2}$

Этап 12