Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

Этап 2.1.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

Этап 2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Этап 2.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

Этап 2.1.2.5

Умножим $2$ на $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Этап 2.1.2.6

Окончательный ответ: $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $6 h x$ и $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Этап 4.1.2

Вычтем $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $3 h^{2} + 6 h x$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h^{2} + 6 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

Этап 4.1.4.2

Вынесем множитель $3 h$ из $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

Этап 4.1.4.3

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $3 (h + 2 x)$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

Этап 4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

Этап 4.2.3.2

Изменим порядок $3 h$ и $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Этап 5.2

Найдем предел $6 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Этап 5.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$6 x + 3 \cdot 0$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $3$ на $0$ .

$6 x + 0$

Этап 7.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$6 x$

Этап 8