Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

Этап 1

Найдем производную $f (x) = x^{3} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[2, 3]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

Этап 8.2.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

Этап 8.2.2.4

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

Этап 8.2.2.5

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

Этап 8.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

Этап 8.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.7.1

Умножим $9$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

Этап 8.2.2.7.2

Вычтем $8$ из $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

Этап 8.2.2.8

Объединим $3$ и $\frac{19}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Этап 8.2.2.9

Умножим $3$ на $19$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

Этап 8.2.2.10

Сократим общий множитель $57$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Этап 8.2.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

Этап 8.2.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

Этап 8.2.2.10.2.4

Разделим $19$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

Этап 9

Вычтем $2$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Этап 10

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = 1 \cdot 19$

Этап 11

Умножим $19$ на $1$ .

$A (x) = 19$

Этап 12