Математический анализ Примеры

Найти среднее значение производной f(x)=x^3+1 , [2,3]
,
Этап 1
Найдем производную .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.4
Добавим и .
Этап 1.2
Первая производная по равна .
Этап 2
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 3
 — непрерывное выражение в области .
 — непрерывное выражение
Этап 4
Среднее значение функции на интервале определяется как .
Этап 5
Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.
Этап 6
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 7
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 8
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Объединим и .
Этап 8.2
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.1
Найдем значение в и в .
Этап 8.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 8.2.2.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.2.2.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.2.2.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 8.2.2.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 8.2.2.2.2.4
Разделим на .
Этап 8.2.2.3
Возведем в степень .
Этап 8.2.2.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 8.2.2.5
Объединим и .
Этап 8.2.2.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.2.2.7
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.7.1
Умножим на .
Этап 8.2.2.7.2
Вычтем из .
Этап 8.2.2.8
Объединим и .
Этап 8.2.2.9
Умножим на .
Этап 8.2.2.10
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.10.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.2.2.10.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.2.2.10.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.2.2.10.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 8.2.2.10.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 8.2.2.10.2.4
Разделим на .
Этап 9
Вычтем из .
Этап 10
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Сократим общий множитель.
Этап 10.2
Перепишем это выражение.
Этап 11
Умножим на .
Этап 12