Математический анализ Примеры

y = x^{3}

$y = x^{3}$ ,

[0, 5]

$[0, 5]$

Этап 1

Запишем

y = x^{3}

$y = x^{3}$ в виде функции.

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$

Этап 2

Найдем производную

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 3

$n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Этап 2.2

Первая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области

$[0, 5]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 5

Среднее значение функции

$f'$ на интервале

$[a, b]$ определяется как

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 6

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 3 x^{2} d x)$

Этап 7

Поскольку

$3$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл

$x^{2}$ по

$x$ имеет вид

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим

$\frac{1}{3}$ и

$x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение

$\frac{x^{3}}{3}$ в

$5$ и в

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем

$5$ в степень

$3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.2.2

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 9.2.2.3

Сократим общий множитель

$0$ и

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.3.1

Вынесем множитель

$3$ из

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 9.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.3.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 9.2.2.3.2.4

Разделим

$0$ на

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - 0))$

Этап 9.2.2.4

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} + 0))$

Этап 9.2.2.5

Добавим

$\frac{125}{3}$ и

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3}))$

Этап 9.2.2.6

Объединим

$3$ и

$\frac{125}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Этап 9.2.2.7

Умножим

$3$ на

$125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{375}{3})$

Этап 9.2.2.8

Сократим общий множитель

$375$ и

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.8.1

Вынесем множитель

$3$ из

$375$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Этап 9.2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.8.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 (1)})$

Этап 9.2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 \cdot 1})$

Этап 9.2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{125}{1})$

Этап 9.2.2.8.2.4

Разделим

$125$ на

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (125)$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 125$

Этап 10.2

Добавим

$5$ и

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 125$

Этап 11

Сократим общий множитель

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель

$5$ из

$125$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 (25))$

Этап 11.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 25)$

Этап 11.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 25$

Этап 12