Введите задачу...
Математический анализ Примеры
,
Этап 1
Этап 1.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 1.2
— непрерывное выражение в области .
Функция является непрерывной.
Функция является непрерывной.
Этап 2
Этап 2.1
Найдем производную.
Этап 2.1.1
Найдем первую производную.
Этап 2.1.1.1
Продифференцируем.
Этап 2.1.1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.1.1.2
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.1.2
Найдем значение .
Этап 2.1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.1.2.3
Умножим на .
Этап 2.1.1.3
Вычтем из .
Этап 2.1.2
Первая производная по равна .
Этап 2.2
Выясним, является ли производная непрерывной на .
Этап 2.2.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Интервальное представление:
Обозначение построения множества:
Этап 2.2.2
— непрерывное выражение в области .
Функция является непрерывной.
Функция является непрерывной.
Этап 2.3
Функция является дифференцируемой на , поскольку производная является непрерывной на .
Функция является дифференцируемой.
Функция является дифференцируемой.
Этап 3
Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке .
Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале .
Этап 4
Этап 4.1
Продифференцируем.
Этап 4.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.2
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.2
Найдем значение .
Этап 4.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.3
Умножим на .
Этап 4.3
Вычтем из .
Этап 5
Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой .
Этап 6
Этап 6.1
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 6.2
Упростим члены.
Этап 6.2.1
Упростим .
Этап 6.2.1.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1.1
Объединим и .
Этап 6.2.1.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 6.2.1.1.3
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.1.4
Сократим общий множитель .
Этап 6.2.1.1.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.1.1.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.1.2
Переставляем члены.
Этап 6.2.1.3
Применим формулу Пифагора.
Этап 6.2.1.4
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 6.2.2
Упростим.
Этап 6.2.2.1
Объединим и .
Этап 6.2.2.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 6.2.2.2.1
Умножим на .
Этап 6.2.2.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.2.2.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6.2.2.2.2
Добавим и .
Этап 6.3
Поскольку — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 6.4
Применим формулу приведения.
Этап 6.5
Интеграл по имеет вид .
Этап 6.6
Упростим.
Этап 6.6.1
Объединим и .
Этап 6.6.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 6.6.3
Объединим и .
Этап 6.6.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.6.5
Перенесем влево от .
Этап 6.6.6
Умножим на .
Этап 6.6.7
Умножим на .
Этап 6.7
Подставим и упростим.
Этап 6.7.1
Найдем значение в и в .
Этап 6.7.2
Найдем значение в и в .
Этап 6.7.3
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 6.8
Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: .
Этап 6.9
Упростим.
Этап 6.9.1
Упростим числитель.
Этап 6.9.1.1
Найдем значение .
Этап 6.9.1.2
Найдем значение .
Этап 6.9.2
Умножим на .
Этап 6.9.3
Разделим на .
Этап 6.9.4
Умножим на .
Этап 6.9.5
Упростим каждый член.
Этап 6.9.5.1
Упростим числитель.
Этап 6.9.5.1.1
Найдем значение .
Этап 6.9.5.1.2
Найдем значение .
Этап 6.9.5.2
Умножим на .
Этап 6.9.5.3
Разделим на .
Этап 6.9.6
Добавим и .
Этап 6.9.7
Умножим на .
Этап 6.9.8
приблизительно равно . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.
Этап 6.9.9
приблизительно равно . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.
Этап 7
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Этап 8