Математический анализ Примеры

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

Этап 1

Проверим непрерывность $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[0, 4]$ , найдем область определения $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

Этап 1.1.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x^{5}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{5} \geq 0$

Этап 1.1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

Этап 1.1.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq \sqrt[5]{0}$

Этап 1.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 1.1.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq 0$

Этап 1.1.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 1.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Этап 2.1.1.2

Поскольку $\frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ по $x$ равна $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Этап 2.1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 2.1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 2.1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 2.1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Этап 2.1.1.7.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Этап 2.1.1.8

Объединим $\frac{5}{4}$ и $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Этап 2.1.1.9

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Этап 2.1.1.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.1

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Этап 2.1.1.10.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Этап 2.1.1.11

Сократим общий множитель.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Этап 2.1.1.12

Разделим $x^{\frac{1}{4}}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Этап 2.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[0, 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[0, 4]$ , найдем область определения $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt[4]{x^{1}}$

Этап 2.2.1.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\sqrt[4]{x}$

Этап 2.2.1.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.2.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 2.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на $[0, 4]$ , поскольку производная является непрерывной на $[0, 4]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[0, 4]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[0, 4]$ .

Этап 4

Найдем производную $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Этап 4.2

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Этап 4.3

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Этап 4.8

Объединим $\frac{5}{4}$ и $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Этап 4.9

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Этап 4.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Этап 4.10.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Этап 4.11

Сократим общий множитель.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Этап 4.12

Разделим $x^{\frac{1}{4}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

Этап 6