Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} 3000 e^{- 0.05 x} d x$

Этап 1

Поскольку $3000$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3000$ из-под знака интеграла.

$3000 \int_{0}^{5} e^{- 0.05 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = - 0.05 x$ . Тогда $d u = - 0.05 d x$ , следовательно $\frac{1}{- 0.05} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - 0.05 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- 0.05 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.05 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 0.05$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.05 x$ по $x$ равна $- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 0.05 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $- 0.05$ на $1$ .

$- 0.05$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 0.05 x$ .

$u_{lower} = - 0.05 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $- 0.05$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 0.05 x$ .

$u_{upper} = - 0.05 \cdot 5$

Этап 2.5

Умножим $- 0.05$ на $5$ .

$u_{upper} = - 0.25$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.25$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} \frac{1}{- 0.05} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} (- \frac{1}{0.05}) d u$

Этап 3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{0.05}$ .

$3000 \int_{0}^{- 0.25} - \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3000 (- \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $3000$ .

$- 3000 \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{0.05}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.05}$ из-под знака интеграла.

$- 3000 (\frac{1}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{0.05}$ и $- 3000$ .

$\frac{- 3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{3000}{0.05} e^{u}]_{0}^{- 0.25}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 0.25$ и в $0$ .

$- \frac{3000}{0.05} ((e^{- 0.25}) - e^{0})$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим $3000$ на $0.05$ .

$- 1 \cdot 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $60000$ .

$- 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 60000 e^{- 0.25} - 60000 \cdot - 1$

Этап 10.4

Умножим $- 60000$ на $- 1$ .

$- 60000 e^{- 0.25} + 60000$

Этап 10.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 60000 \frac{1}{e^{0.25}} + 60000$

Этап 10.5.2

Объединим $- 60000$ и $\frac{1}{e^{0.25}}$ .

$\frac{- 60000}{e^{0.25}} + 60000$

Этап 10.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Десятичная форма:

$13271.95301571 \dots$

Этап 12