Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{x + h}{6 - x - h}$ .

$\frac{x + h}{6 - x - h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h}{6 - x - h} - (\frac{x}{6 - x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{x + h}{6 - x - h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{x}{6 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(6 - x - h) (6 - x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{x + h}{6 - x - h}$ на $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{x}{6 - x}$ на $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(6 - x - h) (6 - x)$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x) (6 - x - h)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Развернем $(x + h) (6 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x (6 - x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{6 \cdot x + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{6 x - x \cdot x + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{6 x - (x \cdot x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.4

Перенесем $6$ влево от $h$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 \cdot h + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x \cdot 6 - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + 0 + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{6 h - h x + 0 + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Добавим $6 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- h x + 6 h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $- h x$ и $x h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.10.1

Перенесем $h$ .

$\frac{\frac{6 h - x h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10.2

Добавим $- x h$ и $x h$ .

$\frac{\frac{6 h + 0}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Добавим $6 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $h$ из $6 h$ .

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{(6 - x) (6 - x - h)}$

Этап 5