Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

Этап 1

Пусть $u = y^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = y^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $y^{2} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 y + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = y^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = y^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $u^{5}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{6} u^{6}$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $64$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Этап 5.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Этап 5.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

Этап 5.2.6

Чтобы записать $\frac{32}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Этап 5.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $\frac{32}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Этап 5.2.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

Этап 5.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

Этап 5.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Умножим $32$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

Этап 5.2.9.2

Вычтем $1$ из $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $63$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

Этап 5.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Этап 5.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Этап 5.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

Этап 5.2.11

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{21}{2}$ .

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.12

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{21}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{21}{4}$

Десятичная форма:

$5.25$

Форма смешанных чисел:

$5 \frac{1}{4}$

Этап 7