Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Этап 2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 2.1.2

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

Этап 2.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель ${(t - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Этап 2.1.4.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Этап 2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель ${(t - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Этап 2.1.5.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Этап 2.1.5.2

Сократим общий множитель ${(t - 3)}^{2}$ и $t - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Вынесем множитель $t - 3$ из $(B) {(t - 3)}^{2}$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

Этап 2.1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Этап 2.1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Этап 2.1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

Этап 2.1.5.2.2.4

Разделим $B (t - 3)$ на $1$ .

$t = A + B (t - 3)$

Этап 2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t = A + B t + B \cdot - 3$

Этап 2.1.5.4

Перенесем $- 3$ влево от $B$ .

$t = A + B t - 3 B$

Этап 2.1.6

Изменим порядок $A$ и $B t$ .

$t = B t + A - 3 B$

Этап 2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = B$

Этап 2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $t$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A - 3 B$

Этап 2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

Этап 2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

Этап 2.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = A - 3 B$ на $1$ .

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

Этап 2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

Этап 2.3.3

Решим относительно $A$ в $0 = A - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A - 3 = 0$ .

$A - 3 = 0$

$B = 1$

Этап 2.3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Этап 2.3.4

Решим систему уравнений.

$A = 3 B = 1$

Этап 2.3.5

Перечислим все решения.

$A = 3, B = 1$

Этап 2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

Этап 2.5

Удалим ноль из выражения.

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Этап 5

Пусть $u_{1} = t - 3$ . Тогда $d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = t - 3$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $t - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{1} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Этап 5.3

Вычтем $3$ из $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{1} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Этап 5.5

Вычтем $3$ из $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Этап 7

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Этап 8

Пусть $u_{2} = t - 3$ . Тогда $d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = t - 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $t - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 8.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Этап 8.3

Вычтем $3$ из $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Этап 8.5

Вычтем $3$ из $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $- {u_{1}}^{- 1}$ в $- 1$ и в $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Этап 10.2

Найдем значение $\ln (| u_{2} |)$ в $- 1$ и в $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.9

Вычтем $1$ из $3$ .

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.10

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.11

Умножим $3$ на $2$ .

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.12

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Этап 10.3.12.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

Этап 11

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

Этап 12.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Этап 12.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Десятичная форма:

$1.80277542 \dots$

Этап 14