Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.5

Умножим $2$ на $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Этап 4.2.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 4.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Этап 4.2.2.9

Вычтем $2$ из $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Этап 4.2.2.10

Объединим $3$ и $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Этап 4.2.2.11

Умножим $3$ на $14$ .

$\frac{42}{3}$

Этап 4.2.2.12

Сократим общий множитель $42$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.1

Вынесем множитель $3$ из $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Этап 4.2.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Этап 4.2.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Этап 4.2.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14}{1}$

Этап 4.2.2.12.2.4

Разделим $14$ на $1$ .

$14$

Этап 5