Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{8} \frac{8}{3 x^{5}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{8}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{8}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{- 5} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{4} x^{- 4}]_{1}^{8}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ в $8$ и в $1$ .

$\frac{8}{3} ((- \frac{1}{4} \cdot 8^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{4}} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 4.2.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4096} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 4.2.3

Умножим $\frac{1}{4096}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4096 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 4.2.4

Умножим $4096$ на $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Этап 4.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Этап 4.2.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4})$

Этап 4.2.7

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4096}{4096})$

Этап 4.2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16384$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{4 \cdot 4096})$

Этап 4.2.8.2

Умножим $4$ на $4096$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{16384})$

Этап 4.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{- 1 + 4096}{16384}$

Этап 4.2.10

Добавим $- 1$ и $4096$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{4095}{16384}$

Этап 4.2.11

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{4095}{16384}$ .

$\frac{8 \cdot 4095}{3 \cdot 16384}$

Этап 4.2.12

Умножим $8$ на $4095$ .

$\frac{32760}{3 \cdot 16384}$

Этап 4.2.13

Умножим $3$ на $16384$ .

$\frac{32760}{49152}$

Этап 4.2.14

Сократим общий множитель $32760$ и $49152$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.14.1

Вынесем множитель $24$ из $32760$ .

$\frac{24 (1365)}{49152}$

Этап 4.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.14.2.1

Вынесем множитель $24$ из $49152$ .

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Этап 4.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Этап 4.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1365}{2048}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1365}{2048}$

Десятичная форма:

$0.66650390 \dots$

Этап 6