Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \sqrt{16 x^{5}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16 x^{5}$ в виде ${(4 x^{2})}^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} x^{5}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем $x^{4}$ за скобки.

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} (x^{4} x)} d x$

Этап 1.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} ({(x^{2})}^{2} x)} d x$

Этап 1.1.4

Перепишем $4^{2} {(x^{2})}^{2}$ в виде ${(4 x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{{(4 x^{2})}^{2} x} d x$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} \sqrt{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Этап 2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Этап 2.2.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Этап 2.2.6.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{2}{7}$ и $x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}]_{1}^{4})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ в $4$ и в $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{7}{2}}}{7}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Этап 5.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Этап 5.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Этап 5.2.2.4

Возведем $2$ в степень $7$ .

$4 (\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Этап 5.2.2.5

Умножим $2$ на $128$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Этап 5.2.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1}{7})$

Этап 5.2.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2}{7})$

Этап 5.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{256 - 2}{7}$

Этап 5.2.2.9

Вычтем $2$ из $256$ .

$4 (\frac{254}{7})$

Этап 5.2.2.10

Объединим $4$ и $\frac{254}{7}$ .

$\frac{4 \cdot 254}{7}$

Этап 5.2.2.11

Умножим $4$ на $254$ .

$\frac{1016}{7}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1016}{7}$

Десятичная форма:

$145.14285714 \dots$

Форма смешанных чисел:

$145 \frac{1}{7}$

Этап 7