Математический анализ Примеры

$\int x {(x + 7)}^{6} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + 7$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u - 7) u^{6} d u$

Этап 2

Умножим $(u - 7) u^{6}$ .

$\int u \cdot u^{6} - 7 u^{6} d u$

Этап 3

Умножим $u$ на $u^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $u$ на $u^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{6} - 7 u^{6} d u$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 6} - 7 u^{6} d u$

Этап 3.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\int u^{7} - 7 u^{6} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{7} d u + \int - 7 u^{6} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{7}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 7 u^{6} d u$

Этап 6

Поскольку $- 7$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 7$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 7 \int u^{6} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 7 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{1}{8} u^{8} - 7 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 7}{7} u^{7} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $- 7$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7} u^{7} + C$

Этап 8.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7 (1)} u^{7} + C$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 1} u^{7} + C$

Этап 8.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 1}{1} u^{7} + C$

Этап 8.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{8} u^{8} - u^{7} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x + 7$ .

$\frac{1}{8} {(x + 7)}^{8} - {(x + 7)}^{7} + C$