Математический анализ Примеры

$\int u^{2} \sin (2 u) d u$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u^{2}$ и $dv = \sin (2 u)$ .

$u^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 u)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\cos (2 u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$u^{2} (- \frac{\cos (2 u)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Этап 2.2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{\cos (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- \frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 u) (u) d u)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 u) (u) d u)$

Этап 4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Этап 4.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - - \int \cos (2 u) (u) d u$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + 1 \int \cos (2 u) (u) d u$

Этап 4.5

Умножим $\int \cos (2 u) (u) d u$ на $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \int \cos (2 u) (u) d u$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = \cos (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u (\frac{1}{2} \sin (2 u)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u \frac{\sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Этап 6.2

Объединим $u$ и $\frac{\sin (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 u) d u)$

Этап 8

Пусть $u_{1} = 2 u$ . Тогда $d u_{1} = 2 d u$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d u$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{1} = 2 u$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $2 u$ .

$\frac{d}{d u} [2 u]$

Этап 8.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u$ , производная $2 u$ по $u$ равна $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{d}{d u} [u]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 9

Объединим $\sin (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 12

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$

Этап 13

Перепишем $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$ в виде $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 u$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (2 u)}{4} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} u^{2} \cos (2 u) + \frac{1}{2} u \sin (2 u) + \frac{1}{4} \cos (2 u) + C$