Математический анализ Примеры

$\int x^{2} e^{6 x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{6 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{6 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{6} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \cdot 2 \int e^{6 x} (x) d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2}{6} \int e^{6 x} (x) d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2 (1)}{6} \int e^{6 x} (x) d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{6 x} (x) d x)$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{6 x} (x) d x)$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{3} \int e^{6 x} (x) d x)$

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} \int e^{6 x} (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

Этап 8

Пусть $u = 6 x$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 6 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

Этап 9

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Этап 11.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Этап 12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем $\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ в виде $\frac{1}{6} x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{6} x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Этап 13.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{6}$ и $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Этап 13.2.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x}{6} e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Этап 13.2.4

Объединим $\frac{x}{6}$ и $e^{6 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Этап 13.2.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{36}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) + C$

Этап 13.2.6

Чтобы записать $- \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) \cdot \frac{6}{6} + C$

Этап 13.2.7

Объединим $- \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) \cdot 6}{6} + C$

Этап 13.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36}) \cdot 6}{6} + C$

Этап 13.2.9

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 6 (\frac{1}{3}) (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Этап 13.2.10

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{- 6}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Этап 13.2.11

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Этап 13.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Этап 13.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Этап 13.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{6 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Этап 13.2.11.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 2 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{u}}{36})}{6} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 2 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - 2 \frac{x e^{6 x}}{6} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{6 x}}{6} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Этап 15.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{6 x}}{2 \cdot 3} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Этап 15.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{6 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{6 x}}{2 \cdot 3} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Этап 15.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - 2 (- \frac{e^{6 x}}{36})}{6} + C$

Этап 15.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{6 x}}{36}$ в числитель.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - 2 \frac{- e^{6 x}}{36}}{6} + C$

Этап 15.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 2 (- 1) \frac{- e^{6 x}}{36}}{6} + C$

Этап 15.3.3

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{6 x}}{2 \cdot 18}}{6} + C$

Этап 15.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{6 x}}{2 \cdot 18}}{6} + C$

Этап 15.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - \frac{- e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Этап 15.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} - - \frac{e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Этап 15.4.2

Умножим $- - \frac{e^{6 x}}{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + 1 \frac{e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Этап 15.4.2.2

Умножим $\frac{e^{6 x}}{18}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} e^{6 x} - \frac{x e^{6 x}}{3} + \frac{e^{6 x}}{18}}{6} + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{6} (x^{2} e^{6 x} - \frac{1}{3} x e^{6 x} + \frac{1}{18} e^{6 x}) + C$