Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $\frac{4}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5.2.4

Разделим $2 x^{3}$ на $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $6 x$ из $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $- 2$ в $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f (- 2) = 8 - 16$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $16$ из $8$ .

$f (- 2) = - 8$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $- 8$ .

$- 8$

Этап 4.4

Подставляя $- 2$ в $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ , найдем точку $(- 2, - 8)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2, - 8)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $6$ на $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $12$ на $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

Этап 6.2.2

Вычтем $25.2$ из $26.46$ .

$f'' (- 2.1) = 1.26$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1.26$ .

$1.26$

Этап 6.3

При $- 2.1$ вторая производная имеет вид $1.26$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Этап 7.2.2

Вычтем $12$ из $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 7.3

При $- 1$ вторая производная имеет вид $- 6$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 2, 0)$ .

Убывание на $(- 2, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $6$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

Этап 8.2.1.3

Умножим $12$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

Этап 8.2.2

Добавим $0.06$ и $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.26$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $1.26$ .

$1.26$

Этап 8.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $1.26$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

Этап 10