Математический анализ Примеры

$y = e^{a x} \sin (b x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} (e^{a x} \sin (b x))$

Этап 2

Производная $y$ по $b$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $e^{a x}$ является константой относительно $b$ , производная $e^{a x} \sin (b x)$ по $b$ равна $e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$ .

$e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ имеет вид $f' (g (b)) g' (b)$ , где $f (b) = \sin (b)$ и $g (b) = b x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $b x$ .

$e^{a x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d b} [b x])$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$e^{a x} (\cos (u) \frac{d}{d b} [b x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $b x$ .

$e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d b} [b x])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $b$ , производная $b x$ по $b$ равна $x \frac{d}{d b} [b]$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \frac{d}{d b} [b]))$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ имеет вид $n b^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \cdot 1))$

Этап 3.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{a x} (\cos (b x) x)$ .

$e^{a x} x \cos (b x)$

Этап 3.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{a x} x \cos (b x)$ .

$x e^{a x} \cos (b x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x e^{a x} \cos (b x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = x e^{a x} \cos (b x)$