Математический анализ Примеры

$e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 1

Запишем $e^{4 x} + e^{- x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{4 x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 2.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 2.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 e^{4 x} - e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{4 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.2.2.2

$f'' (x) = 4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.2.6

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.2.7

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 3.3.2.2

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 3.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 3.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 3.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Этап 3.3.9

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $e^{4 x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 5.1.2.1.2

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 5.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 5.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 5.1.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 5.1.2.5

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.3.1.2

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 5.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 5.1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 5.1.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Этап 6.2

Перенесем $- e^{- x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Этап 6.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Этап 6.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $\ln (4 e^{4 x})$ в виде $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Этап 6.4.2

Развернем $\ln (e^{4 x})$ , вынося $4 x$ из логарифма.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Этап 6.4.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Этап 6.4.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Этап 6.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Развернем $\ln (e^{- x})$ , вынося $- x$ из логарифма.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Этап 6.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Этап 6.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Этап 6.6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Этап 6.6.2

Добавим $4 x$ и $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Этап 6.7

Вычтем $\ln (4)$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - \ln (4)$

Этап 6.8

Разделим каждый член $5 x = - \ln (4)$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Разделим каждый член $5 x = - \ln (4)$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Этап 6.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Этап 6.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Этап 6.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$16 e^{4 (- \frac{\ln (4)}{5})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $\frac{\ln (4)}{5}$ в виде $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$16 e^{4 (- (\frac{1}{5} \ln (4)))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.2

Упростим $\frac{1}{5} \ln (4)$ путем переноса $\frac{1}{5}$ под логарифм.

$16 e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.3

Умножим $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$16 e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.3.2

Упростим $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$16 e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.4

Упростим $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$16 e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$16 {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.6

Перемножим экспоненты в ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.7

Перемножим экспоненты в ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.7.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 4$ .

$16 \cdot 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$16 \cdot 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \cdot \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.9

Объединим $16$ и $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Этап 10.10

Перепишем $\frac{\ln (4)}{5}$ в виде $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - (\frac{1}{5} \ln (4))}$

Этап 10.11

Упростим $\frac{1}{5} \ln (4)$ путем переноса $\frac{1}{5}$ под логарифм.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Этап 10.12

Умножим $- - \ln (4^{\frac{1}{5}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Этап 10.12.2

Умножим $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ на $1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Этап 10.13

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Этап 11

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Simplify $- \frac{\ln (4)}{5}$ to substitute in $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перепишем $\frac{\ln (4)}{5}$ в виде $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (4))$

Этап 12.1.2

Упростим $\frac{1}{5} \ln (4)$ путем переноса $\frac{1}{5}$ под логарифм.

$y = - \ln (4^{\frac{1}{5}})$

Этап 12.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \ln (4^{\frac{1}{5}})$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Умножим $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.1.2

Упростим $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.2

Упростим $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.4.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.5

Перемножим экспоненты в ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.5.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Этап 12.3.1.7

Умножим $- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Этап 12.3.1.7.2

Умножим $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ на $1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Этап 12.3.1.8

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Этап 12.3.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}})$ — локальный минимум

Этап 14