Математический анализ Примеры

$\int \frac{\cos (x)}{\sqrt{9 - \sin^{2} (x)}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Этап 2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Этап 4

Перепишем $\arcsin (\frac{u}{3}) + C$ в виде $\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} \sin (x)) + C$