Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

Этап 2

Вынесем множитель $4$ из $9 + 4 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $4$ из $9$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

Этап 2.2

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

Этап 2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

Этап 4

Перепишем $\frac{9}{4}$ в виде ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Этап 6.1.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Этап 6.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

Этап 6.1.4

Объединим $u$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

Этап 6.1.5

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

Этап 6.1.6

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\arctan (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ в виде $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Этап 6.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Этап 6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$