Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 9 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{4}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{4}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 9$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 36 x^{3}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{3}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 36 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $- 36$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 12 (2 x)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 108 x^{2} + 24 x$ .

$- 108 x^{2} + 24 x$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 108 x^{2} + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 108 x^{2}$ .

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- 12 x$ из $24 x$ .

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $- 12 x$ из $- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $9 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $9 x - 2$ к $0$ .

$9 x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $9 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 2$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $9 x = 2$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 2$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{9}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 12 x (9 x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{2}{9}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 9$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $\frac{2}{9}$ в $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $4 (\frac{8}{729})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Объединим $4$ и $\frac{8}{729}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Умножим $4$ на $8$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

Этап 3.3.2.1.6

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

Этап 3.3.2.1.7

Возведем $9$ в степень $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

Этап 3.3.2.1.8

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.8.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

Этап 3.3.2.1.8.2

Вынесем множитель $9$ из $6561$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Этап 3.3.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Этап 3.3.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

Этап 3.3.2.1.9

Перепишем $- 1 (\frac{16}{729})$ в виде $- (\frac{16}{729})$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

Этап 3.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

Этап 3.3.2.2.2

Вычтем $16$ из $32$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{16}{729}$ .

$\frac{16}{729}$

Этап 3.4

Подставляя $\frac{2}{9}$ в $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ , найдем точку $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 108$ на $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $24$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

Этап 5.2.2

Вычтем $2.4$ из $- 1.08$ .

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 3.48$ .

$- 3.48$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 3.48$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \frac{2}{9})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.\overline{1}$ в степень $2$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 108$ на $0.01234567$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

Этап 6.2.1.3

Умножим $24$ на $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 1.33333333$ и $2.\overline{6}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1.33333333$ .

$1.33333333$

Этап 6.3

При $0.\overline{1}$ вторая производная имеет вид $1.33333333$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \frac{2}{9})$ .

Возрастание в области $(0, \frac{2}{9})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{2}{9}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.3\overline{2}$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.3\overline{2}$ в степень $2$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 108$ на $0.10382716$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

Этап 7.2.1.3

Умножим $24$ на $0.3\overline{2}$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

Этап 7.2.2

Добавим $- 11.21333333$ и $7.73333333$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 3.48$ .

$- 3.48$

Этап 7.3

При $0.3\overline{2}$ вторая производная имеет вид $- 3.48$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\frac{2}{9}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{2}{9}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Этап 9