Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 3.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 3.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.2.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Этап 3.2.11

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{16}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Этап 3.2.12

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{16}{3} + 0$

Этап 3.2.13

Добавим $\frac{16}{3}$ и $0$ .

$\frac{16}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{16}{3}$

Десятичная форма:

$5.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$5 \frac{1}{3}$

Этап 5