Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{t} \cdot (\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}) d t$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{1}{t}$ на $\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $\frac{2}{t^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t}{t}$ .

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} \cdot \frac{t}{t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Этап 1.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $t^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $\frac{2}{t^{2}}$ на $\frac{t}{t}$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Этап 1.2.2.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t^{1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Этап 1.2.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2 + 1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Этап 1.2.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{3}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{\frac{2 t - 3}{t^{3}}}{t} d t$

Этап 1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t} d t$

Этап 1.4

Умножим $\frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{2 t - 3}{t^{3}}$ на $\frac{1}{t}$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t} d t$

Этап 1.4.2

Умножим $t^{3}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $t^{3}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t^{1}} d t$

Этап 1.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3 + 1}} d t$

Этап 1.4.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{4}} d t$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $t^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (2 t - 3) {(t^{4})}^{- 1} d t$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 t - 3) t^{4 \cdot - 1} d t$

Этап 2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int (2 t - 3) t^{- 4} d t$

Этап 3

Умножим $(2 t - 3) t^{- 4}$ .

$\int 2 t \cdot t^{- 4} - 3 t^{- 4} d t$

Этап 4

Умножим $t$ на $t^{- 4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $t^{- 4}$ .

$\int 2 (t^{- 4} t) - 3 t^{- 4} d t$

Этап 4.2

Умножим $t^{- 4}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int 2 (t^{- 4} t^{1}) - 3 t^{- 4} d t$

Этап 4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 t^{- 4 + 1} - 3 t^{- 4} d t$

Этап 4.3

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\int 2 t^{- 3} - 3 t^{- 4} d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{- 3}$ по $t$ имеет вид $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $t^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Этап 8.2

Перенесем $t^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Этап 9

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 \int t^{- 4} d t$

Этап 10

По правилу степени интеграл $t^{- 4}$ по $t$ имеет вид $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} t^{- 3} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $t^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{t^{- 3}}{3} + C)$

Этап 11.1.2

Перенесем $t^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}} + C)$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{- 1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

Этап 11.3.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + 3 \frac{1}{3 t^{3}} + C$

Этап 11.3.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3 t^{3}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

Этап 11.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

Этап 11.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{t^{3}} + C$