Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x]$ в виде $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $8 x$ в виде $2^{2} \cdot (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{4 (2) x} d x]$

Этап 1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot 2 x} d x]$

Этап 1.1.3

Добавим круглые скобки.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot (2 x)} d x]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 3

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 4

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x]$

Этап 5

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 8

После определения $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ оно будет постоянным относительно $x$ , поэтому производная $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$