Математический анализ Примеры

\int_{2 x}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t

$\int_{2 x}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$

Этап 1

Разобьем интеграл на два интеграла, где

c

$c$ — некоторое значение между

2 x

$2 x$ и

3 x + 1

$3 x + 1$ .

\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Этап 2

По правилу суммы производная

\int_{2 x}^{c} sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t

$\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$ .

\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Этап 3

Заменим пределы интегрирования.

\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Этап 4

Возьмем производную от

- \int_{c}^{2 x} sin (t^{4}) d t

$- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t$ по

x

$x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

\frac{d}{d x} [2 x] (- sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t]

$\frac{d}{d x} [2 x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку

2

$2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

2 x

$2 x$ по

x

$x$ равна

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x] (- sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t]

$2 \frac{d}{d x} [x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1 (- sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t]

$2 \cdot 1 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Этап 5.3

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

2 (- sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t]

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

2 (- sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t]

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

Этап 6

Возьмем производную от

\int_{c}^{3 x + 1} sin (t^{4}) d t

$\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ по

x

$x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

2 (- sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 7

По правилу суммы производная

3 x + 1

$3 x + 1$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

2 (- sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 8

Найдем значение

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку

3

$3$ является константой относительно

x

$x$ , производная

3 x

$3 x$ по

x

$x$ равна

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 (- sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) sin ({(3 x + 1)}^{4})

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 8.3

Умножим

$3$ на

$1$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + 0) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 9.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим

$3$ и

$0$ .

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель

$2$ из

$2 x$ .

$2 (- \sin ({(2 (x))}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 9.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Применим правило умножения к

$2 (x)$ .

$2 (- \sin (2^{4} x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 9.2.3.2

Возведем

$2$ в степень

$4$ .

$2 (- \sin (16 x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

Этап 9.2.3.3

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$