Математический анализ Примеры

$\int_{9}^{16} \sqrt{x} - 4 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{9}^{16} \sqrt{x} d x + \int_{9}^{16} - 4 d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{9}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{9}^{16} - 4 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16} + \int_{9}^{16} - 4 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16} + - 4 x]_{9}^{16}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$ и $- 4 x]_{9}^{16}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x]_{9}^{16}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x$ в $16$ и в $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 16) - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.6

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128}{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.7

Умножим $- 4$ на $16$ .

$\frac{128}{3} - 64 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.8

Чтобы записать $- 64$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 64 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.9

Объединим $- 64$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 64 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{128 - 64 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.1

Умножим $- 64$ на $3$ .

$\frac{128 - 192}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.11.2

Вычтем $192$ из $128$ .

$\frac{- 64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.13

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.14

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.15.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.15.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.16

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.17

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{2 \cdot 27}{3} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.18

Умножим $2$ на $27$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{54}{3} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.19

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.19.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.19.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.19.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.19.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{64}{3} - (\frac{18}{1} - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.19.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$- \frac{64}{3} - (18 - 4 \cdot 9)$

Этап 5.2.2.20

Умножим $- 4$ на $9$ .

$- \frac{64}{3} - (18 - 36)$

Этап 5.2.2.21

Вычтем $36$ из $18$ .

$- \frac{64}{3} - - 18$

Этап 5.2.2.22

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$- \frac{64}{3} + 18$

Этап 5.2.2.23

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.2.24

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.2.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 64 + 18 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.2.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.26.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{- 64 + 54}{3}$

Этап 5.2.2.26.2

Добавим $- 64$ и $54$ .

$\frac{- 10}{3}$

Этап 5.2.2.27

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{10}{3}$

Десятичная форма:

$- 3.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$- 3 \frac{1}{3}$

Этап 7