Математический анализ Примеры

$\int 6 t^{2} \sqrt[3]{t} d t$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 6 t^{2} t^{\frac{1}{3}} d t$

Этап 1.2

Умножим $t^{2}$ на $t^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 6 (t^{\frac{1}{3}} t^{2}) d t$

Этап 1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 6 t^{\frac{1}{3} + 2} d t$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\int 6 t^{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} d t$

Этап 1.2.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\int 6 t^{\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} d t$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 6 t^{\frac{1 + 2 \cdot 3}{3}} d t$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\int 6 t^{\frac{1 + 6}{3}} d t$

Этап 1.2.6.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\int 6 t^{\frac{7}{3}} d t$

Этап 2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int t^{\frac{7}{3}} d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{\frac{7}{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}}$ .

$6 (\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $6 (\frac{3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C)$ в виде $6 (\frac{3}{10}) t^{\frac{10}{3}} + C$ .

$6 (\frac{3}{10}) t^{\frac{10}{3}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $6$ и $\frac{3}{10}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{10} t^{\frac{10}{3}} + C$

Этап 4.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{18}{10} t^{\frac{10}{3}} + C$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $18$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 (9)}{10} t^{\frac{10}{3}} + C$

Этап 4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} t^{\frac{10}{3}} + C$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} t^{\frac{10}{3}} + C$

Этап 4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{5} t^{\frac{10}{3}} + C$