Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{8} \sqrt{64 - x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 8 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 8 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $8 \cos (t)$ положительно.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $8 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - (8^{2} \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - (64 \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.3

Умножим $64$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $64$ из $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $64$ из $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $64 \cos^{2} (t)$ в виде ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $8$ на $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 2.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Этап 2.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $64$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $64$ из-под знака интеграла.

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$64 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.4

Разделим $32$ на $1$ .

$32 \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$32 (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 9.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 9.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 9.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 9.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Этап 9.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 10

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Этап 12

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Этап 13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (u)]_{0}^{π}$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{π}}{2})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $t$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{\sin (u)]_{0}^{π}}{2})$

Этап 14.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $π$ и в $0$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2})$

Этап 14.3

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2})$

Этап 15.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) + 0}{2})$

Этап 15.3

Добавим $\sin (π)$ и $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$32 \frac{π + \sin (π)}{2}$

Этап 16.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$32 \frac{π + \sin (0)}{2}$

Этап 16.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$32 \frac{π + 0}{2}$

Этап 16.3

Добавим $π$ и $0$ .

$32 \frac{π}{2}$

Этап 16.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$2 (16) \frac{π}{2}$

Этап 16.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 16 \frac{π}{2}$

Этап 16.4.3

Перепишем это выражение.

$16 π$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$16 π$

Десятичная форма:

$50.26548245 \dots$

Этап 18